Encontre a equação da reta perpendicular à curva no ponto
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado pede é: “A gente tem a curva definida por
e um ponto nessa curva. Queremos achar a equação da reta que é perpendicular à curva nesse ponto.”
Conteúdo: derivada implícita, coeficiente angular de tangente e de normal, ponto–inclinação. Vamos precisar:
derivar a curva implicitamente pra achar a inclinação da reta tangente em ;
usar a inclinação da tangente para achar a da reta perpendicular (normal);
montar a equação da reta usando ponto e inclinação.
Passo 2
Derivando implicitamente
a gente faz derivada de cada termo em relação a :
ou seja
Isolando (que é a inclinação da reta tangente), vem
Passo 3
Agora avaliando em :
Isso significa que a reta tangente em tem coeficiente angular .
Passo 4
A reta perpendicular (normal) tem coeficiente angular que é o negativo do inverso de mrm perp = -1mrm tan = -1-1/raiz3 = raiz3 . Ou seja,
Passo 5
Montando a equação da reta com ponto y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - raiz3 = raiz3,(x - 1) e inclinação y - raiz3 = raiz3x - raiz3 ;;Longrightarrow;; y = raiz3x , usamos a forma ponto-inclinação:
Se você quiser simplificar:
Resposta
A equação da reta perpendicular à curva boxedy = raiz3,x em é