Encontre a equação da reta perpendicular à curva x^2+y^2=4 no ponto P(1, raiz3)

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado pede é: “A gente tem a curva definida por
x^2 + y^2 = 4
e um ponto nessa curva. Queremos achar a equação da reta que é perpendicular à curva nesse ponto.”
Conteúdo: derivada implícita, coeficiente angular de tangente e de normal, ponto–inclinação. Vamos precisar:
  1. derivar a curva implicitamente pra achar a inclinação da reta tangente em ;
  2. usar a inclinação da tangente para achar a da reta perpendicular (normal);
  3. montar a equação da reta usando ponto e inclinação.

Passo 2

Derivando implicitamente
x^2 + y^2 = 4
a gente faz derivada de cada termo em relação a ddx(x^2) + ddx(y^2) = ddx(4) :
2x + 2ydydx = 0
ou seja
2y,y' = -2x Longrightarrow y' = -xy
Isolando (que é a inclinação da reta tangente), vem

Passo 3

Agora avaliando em y'|P = -1raiz3 :
Isso significa que a reta tangente em tem coeficiente angular .

Passo 4

A reta perpendicular (normal) tem coeficiente angular que é o negativo do inverso de mrm perp = -1mrm tan = -1-1/raiz3 = raiz3 . Ou seja,

Passo 5

Montando a equação da reta com ponto y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - raiz3 = raiz3,(x - 1) e inclinação y - raiz3 = raiz3x - raiz3 ;;Longrightarrow;; y = raiz3x , usamos a forma ponto-inclinação:
Se você quiser simplificar:

Resposta

A equação da reta perpendicular à curva boxedy = raiz3,x em é

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