Determine os seguintes limites.
.

Passo 1

Beleza, vamos achar os três limites quando :
Conteúdo: limites indeterminados, série de Taylor (ou L’Hôpital). A gente vai precisar usar aproximações para funções básicas (seno, log, exponencial) perto de zero, e também a ideia de que se o numerador vai a infinito e o denominador vai a algo finito, o quociente vai a infinito.

Passo 2

Limite de sin t = t - t^36 + cdots quando sin tt = t - tfract^36 + cdotst = 1 - t^26 + cdots .
Teoria: para muito pequeno, a série de Taylor diz
Logo
Quando , os termos em ou superiores somem, sobrando 1.

Passo 3

Limite de quando .
Aqui a teoria é outra: quando vai para . Já . Então o numerador explode negativamente, o denominador fica perto de 1, e o quociente vai para .

Passo 4

Limite de e^2t = 1 + 2t + (2t)^22 + cdots = 1 + 2t + 2t^2 + cdots quando e^2t-1 = 2t + 2t^2 + cdots, .
Usando a série de Taylor para a exponencial perto de zero:
te^2t-1 = t2t + 2t^2 + cdots = 12 + 2t + cdots
Então
e
Quando , isso vai a .

Resposta

l(1,,-infty,;tfrac12r)

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