Determine os seguintes limites.
.
Passo 1
Beleza, vamos achar os três limites quando
:
Conteúdo: limites indeterminados, série de Taylor (ou L’Hôpital). A gente vai precisar usar aproximações para funções básicas (seno, log, exponencial) perto de zero, e também a ideia de que se o numerador vai a infinito e o denominador vai a algo finito, o quociente vai a infinito.
Passo 2
Limite de
quando
.
Teoria: para muito pequeno, a série de Taylor diz
Teoria: para
Logo
Quando
, os termos em
ou superiores somem, sobrando 1.
Passo 3
Limite de
quando
.
Aqui a teoria é outra: quando
vai para
. Já
. Então o numerador explode negativamente, o denominador fica perto de 1, e o quociente vai para
.
Aqui a teoria é outra:
Passo 4
Limite de
quando
.
Usando a série de Taylor para a exponencial perto de zero:
Usando a série de Taylor para a exponencial perto de zero:
Então
e
Quando
, isso vai a
.