Exercício 4: Resolva o sistema retendo quatro casas decimais.
b)
rrll 2 x1+3 x2+x3-x4=6,90 -x1+x2-4 x3+x4= & -6,60 x1+x2+x3+x4= & 10,20 4 x1-5 x2+x3-2 x4= & -12,30
Apresentar o sistema linear triangularizado e calcular o erro.
Gabarito:
a) Solução: barx=[lll-1,4285 & -0,2143 & -2,5714]^t.
b) Solução: x=[llll0,9 & 2,1 & 3,0 & 4,2]^t.
Estas soluções pode diferir ligeiramente da sua.

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema 4×4 por eliminação de Gauss, guardando quatro casas decimais, apresentando o sistema triangularizado e calculando o erro.
Conteúdo: sistema linear e método da eliminação de Gauss (transformar a matriz aumentada em forma triangular superior e depois aplicar substituição regressiva).
O que vamos precisar:
  • Escrever a matriz aumentada do sistema.
  • Fazer operações elementares de linha para zerar abaixo dos pivôs.
  • Resolver por substituição regressiva.
  • Calcular o erro (vetor‐resíduo e sua norma).

Passo 2

Matriz aumentada inicial (coeficientes | termos constantes):
[cccc|c 2 & 3 & 1 & -1 & 6,90 -1 & 1 & -4 & 1 & -6,60 1 & 1 & 1 & 1 & 10,20 4 & -5 & 1 & -2 & -12,30 ]
Aplicamos eliminação de Gauss, sempre arredondando a 4 casas decimais:
  1. Pivot na linha 1 (pivô = 2):
    R₂ ← R₂ + (½)R₁
    R₃ ← R₃ − (½)R₁
    R₄ ← R₄ − 2·R₁
    resulta em
    [cccc|c 2 & 3 & 1 & -1 & 6,90 0 & 2,5& -3,5& 0,5 & -3,15 0 & -0,5& 0,5& 1,5 & 6,75 0 & -11 & -1 & 0 & -26,10 ]
  2. Pivot na linha 2 (pivô = 2.5):
    R₃ ← R₃ + (−0.5/2.5)·R₂ = R₃ + 0.2·R₂
    R₄ ← R₄ − (−11/2.5)·R₂ = R₄ + 4.4·R₂
    [cccc|c 2 & 3 & 1 & -1 & 6,90 0 & 2,5& -3,5 & 0,5 & -3,15 0 & 0 & -0,2 & 1,6 & 6,12 0 & 0 & -16,4& 2,2 & -39,9600 ]
  3. Pivot na linha 3 (pivô = −0.2):
    R₄ ← R₄ − (−16.4/−0.2)·R₃ = R₄ − 82·R₃
    [cccc|c 2 & 3 & 1 & -1 & 6,90 0 & 2,5& -3,5 & 0,5& -3,15 0 & 0 & -0,2 & 1,6& 6,12 0 & 0 & 0 & -129 & -541,8000 ]
Agora temos o sistema triangularizado:
2,x1 + 3,x2 + 1,x3 - 1,x4 = 6,90, 2,5,x2 - 3,5,x3 + 0,5,x4 = -3,15, -0,2,x3 + 1,6,x4 = 6,12, -129,x4 = -541,8000

Passo 3

Substituição regressiva:
  1. Da 4ª equação:
    x4 = -541,8000-129 = 4,2000
  2. 3ª equação:
    -0,2,x3 + 1,6,(4,2000)=6,12 ;Longrightarrow; -0,2,x3 = 6,12 - 6,72 = -0,60 ;Longrightarrow; x3 = 3,0000
  3. 2ª equação:
    2,5,x2 - 3,5,(3,0000) + 0,5,(4,2000) = -3,15 ;Longrightarrow; 2,5,x2 = -3,15 + 10,50 -2,10 = 5,25 ;Longrightarrow; x2 = 2,1000
  4. 1ª equação:
    2,x1 + 3,(2,1000) + 1,(3,0000) - 1,(4,2000) = 6,90 ;Longrightarrow; 2,x1 = 6,90 -6,30 -3,00 +4,20 = 1,80 ;Longrightarrow; x1 = 0,9000

Passo 4

Cálculo do erro (vetor‐resíduo):
r = A,x - b
Como a solução obtida satisfaz exatamente cada equação (dado que demos valores exatos), o vetor‐resíduo é
r = 0000
e sua norma (∞ ou 2) é 0. Isso significa que, com quatro casas decimais, não houve erro de aproximação no final.

Resposta

x = 0,9000 2,1000 3,0000 4,2000 , erro = 0

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