Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=raizn+1-raizn Resp 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a sequência
an = raizn+1 - raizn
converge ou diverge. Isso é “Limites de Sequências” na matéria de Cálculo.
O que vamos precisar:
- Entender o que significa “a sequência converge” (ou seja, existe um número L que é o limite quando ).
- Um truque clássico de simplificação usando a “conjugada” para reescrever numa forma mais fácil de analisar o limite.

Passo 2

A gente usa a conjugada an = raizn+1 - raizn = l(raizn+1-raiznr),raizn+1+raiznraizn+1+raizn = (raizn+1)^2 - (raizn)^2raizn+1 + raizn = (n+1) - nraizn+1 + raizn = 1raizn+1 + raizn . Multiplicando e dividindo por ela, temos:

Passo 3

Agora observe o que acontece quando :
  • e , então .
  • Logo, , porque qualquer número que cresce sem limite no denominador faz a fração inteira ir para zero.

Resposta

A sequência converge e o limite é
boxed0

Exercícios relacionados