Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
an=n^3-1n Resp.cres.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Determine se a sequência
an=n^3-1n
é crescente, decrescente ou não monótona.”
Aqui estamos vendo conteúdo de sequências numéricas e, em especial, monotonicidade (crescente/decrescente). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Simplificar a expressão de .
  2. Recordar o critério de monotonicidade (diferença entre termos consecutivos).
  3. Verificar o sinal dessa diferença.

Passo 2

Primeiro simplifica a fórmula de an = n^3 - 1n = n^2 - 1n :
Isso fica bem mais fácil de manipular.

Passo 3

Lembra da definição de sequência estritamente crescente? É quando, para todo an+1 - an > 0 ,
Se a diferença é sempre positiva, cada termo novo é maior que o anterior e a sequência é crescente.

Passo 4

Vamos calcular a diferença an+1 = (n+1)^2 - 1n+1 . Primeiro, escrevemos
an+1-an = l((n+1)^2 - tfrac1n+1r) - l(n^2 - tfrac1nr)
Então
an+1-an = (2n+1) + l(tfrac1n - tfrac1n+1r)
Agora, passo a passo:
  1. an+1-an = 2n+1 + 1n(n+1) .

  2. Juntando:
E
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Passo 5

Repara que para todo 2n+1 > 0 e 1n(n+1) > 0 :
an+1-an > 0 forall,n>=1
Somando duas quantidades positivas, o resultado é positivo. Então
Isso significa que a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é crescente.

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