Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=4 n^2+cos nn^3+3 Resp 0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente ver se a sequência
an = 4n^2 + cos nn^3 + 3
converge ou diverge. Se convergir, qual é o limite?
Conteúdo: limites de sequência (funções racionais de + termo oscilante ).
O que precisamos: entender que, para grande, o comportamento dominante vem das potências de e que é sempre “pequeno” (entre e ).

Passo 2

Primeiro vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de an = 4n^2 + cos nn^3 + 3 = 4n^2n^3 + cos nn^3n^3n^3 + 3n^3 = 4n + cos nn^31 + 3n^3 , que é . Isso ajuda a ver o que sobra quando .
Aqui usamos a propriedade de que , só que aplicando .

Passo 3

Agora, para 0 + 01 + 0 = 0 :
  • , porque dividir um número fixo por algo que cresce sem limite dá zero.
  • , pois está sempre entre e , então é “um número limitado” dividido por algo que explode.
  • pelo mesmo motivo.
Logo o quociente vira

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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