Determine se a sequência dada é limitada.
Resp.É
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Determine se a sequência
é limitada.”
O assunto aqui é “sequências numéricas” e, mais especificamente, “sequências limitadas”. Pra resolver, a gente precisa lembrar da definição de sequência limitada e depois encontrar um limite inferior e superior para .
O assunto aqui é “sequências numéricas” e, mais especificamente, “sequências limitadas”. Pra resolver, a gente precisa lembrar da definição de sequência limitada e depois encontrar um limite inferior e superior para
Passo 2
Definição de sequência limitada:
Uma sequência é limitada se existe um número real
tal que
para todo
. Em prática a gente costuma achar um limite inferior
e um limite superior
tais que
Uma sequência
Passo 3
Vamos achar o limite inferior e o limite superior de
:
-
Limite inferior (
)
Note quepara todo .
LogoEntão podemos escolher. -
Limite superior (
)
Repara que. Dividindo por (que é positivo), dá Ou seja,Então dá pra escolher.
Assim achamos
Passo 4
Concluímos que todos os termos de
ficam entre 0 e 1. Isso já é exatamente a definição de sequência limitada (com limites
e
).
Resposta
Sim, a sequência
é limitada, pois satisfaz