Determine se a sequência dada é limitada.
an=n^2n^2+2 Resp.É

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Determine se a sequência
an=n^2n^2+2
é limitada.”
O assunto aqui é “sequências numéricas” e, mais especificamente, “sequências limitadas”. Pra resolver, a gente precisa lembrar da definição de sequência limitada e depois encontrar um limite inferior e superior para .

Passo 2

Definição de sequência limitada:
Uma sequência m <= an <= M forall n é limitada se existe um número real tal que para todo . Em prática a gente costuma achar um limite inferior e um limite superior tais que

Passo 3

Vamos achar o limite inferior e o limite superior de an = n^2n^2+2 ;>=;0 :
  1. Limite inferior ( n^2n^2+2 < n^2+2n^2+2 = 1 )
    Note que an < 1 forall n para todo 0 <= an < 1 forall n .
    Logo
    Então podemos escolher .
  2. Limite superior ( )
    Repara que . Dividindo por (que é positivo), dá
    Ou seja,
    Então dá pra escolher .
Assim achamos

Passo 4

Concluímos que todos os termos de ficam entre 0 e 1. Isso já é exatamente a definição de sequência limitada (com limites e ).

Resposta

Sim, a sequência 0 <= an < 1 forall n é limitada, pois satisfaz

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