Determine se a sequência dada é limitada.
an=1-n^22 n-1 Resp.Não

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ver se a sequência
an = 1 - n^22n - 1
é limitada ou não. Isso cai na matéria de sequência limitada e análise de limites. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. da definição de sequência limitada;
  2. de noções de limite quando ;
  3. de manipular expressões em dividindo numerador e denominador por ou fator comum.

Passo 2

Primeiro, a definição: dizemos que |an| <= M para todo ninN é limitada se existe um número tal que
Ou seja, os termos da sequência não podem “saltar” para valores maiores do que (nem menores do que ).

Passo 3

Vamos estudar o comportamento de limntoinfty an = limntoinfty 1 - n^22n - 1 quando an = 1 - n^22n - 1 = 1n - n2 - 1n cresce bastante. A ideia é calcular
1n - n2 - 1n ;longrightarrow; 0 - n2 - 0 = -n2 ;longrightarrow; -infty
Para facilitar, divido numerador e denominador por :
Agora, quando , temos . Então
Ou seja, vai para .

Passo 4

Como , não existe nenhum que controle para todos os . Em outras palavras, os termos ficam cada vez mais negativos sem limite inferior, e portanto não é limitada.

Resposta

Não.

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