Determine se a sequência dada é limitada.
Resp.É
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a sequência
e descobrir se ela é limitada. O conteúdo envolve sequências, limite e crescimento de funções (exponencial versus polinomial). Vamos precisar:
- Saber o que significa “sequência limitada”.
- Calcular o limite de
quando . - Usar o fato de que toda sequência convergente é limitada.
Passo 2
Definição de sequência limitada:
Dizemos que é limitada se existe um número
tal que
Dizemos que
Ou seja, todos os termos ficam “dentro” de um intervalo finito.
Passo 3
Vamos ver o que acontece com
quando
. Primeiro, fatoramos
em cima e embaixo:
Agora, conforme
, a parte
tende a zero MUITO mais rápido que qualquer polinômio cresce. Logo
Isso faz
Passo 4
Teorema importante: “Toda sequência que converge é necessariamente limitada.”
Por quê? Se , existe
tal que, para
,
Por quê? Se
E como só temos um número finito de termos
antes disso, todos eles são finitos. Basta então escolher
e garantimos
para todo
.
Passo 5
Como achamos que
, a sequência converge. Pelo teorema acima, ela é limitada.
Resposta
A sequência
é limitada.