Determine se a sequência dada é limitada.
an=2 e^n+n3 e^n-n^3 Resp.É

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a sequência
an = 2e^n + n3e^n - n^3
e descobrir se ela é limitada. O conteúdo envolve sequências, limite e crescimento de funções (exponencial versus polinomial). Vamos precisar:
  1. Saber o que significa “sequência limitada”.
  2. Calcular o limite de an quando ntoinfty.
  3. Usar o fato de que toda sequência convergente é limitada.

Passo 2

Definição de sequência limitada:
Dizemos que (an) é limitada se existe um número M>0 tal que
|an| <= M para todo n
Ou seja, todos os termos ficam “dentro” de um intervalo finito.

Passo 3

Vamos ver o que acontece com an quando ntoinfty. Primeiro, fatoramos e^n em cima e embaixo:
an = 2e^n + n3e^n - n^3 = e^nl(2 + n e^-nr)e^nl(3 - n^3 e^-nr) = 2 + n e^-n3 - n^3 e^-n
Agora, conforme ntoinfty, a parte e^-n tende a zero MUITO mais rápido que qualquer polinômio cresce. Logo
n e^-n to 0 e n^3 e^-n to 0
Isso faz
limntoinfty an = 2 + 03 - 0 = 23

Passo 4

Teorema importante: “Toda sequência que converge é necessariamente limitada.”
Por quê? Se anto L, existe N tal que, para n>N,
|an - L| < 1 ;;Longrightarrow;; |an| <= |L| + 1
E como só temos um número finito de termos a1,dots,aN antes disso, todos eles são finitos. Basta então escolher
M = maxl|a1|,dots,|aN|,,|L|+1r,
e garantimos |an|<= M para todo n.

Passo 5

Como achamos que anto tfrac23, a sequência converge. Pelo teorema acima, ela é limitada.

Resposta

A sequência (an) é limitada.

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