Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=0^infty n(-3)^n4^n-1

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=0^inftyn(-3)^n4^n-1
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve convergência de séries numéricas, definição de convergência absoluta e o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral de modo mais claro. Para n>=0 temos
an=n(-3)^n4^,n-1 =;4,n;l(-tfrac34r)^n

Passo 3

Para testar a convergência absoluta, consideramos
sumn=0^inftyl|anr| =sumn=0^infty4,nl(tfrac34r)^n
Aplicamos o teste da razão em l|anr|:
L =limntoinfty|an+1||an| =limntoinfty4,(n+1),(3/4)^,n+14,n,(3/4)^,n =limntoinftyn+1n,34 =34
Como L=tfrac34<1, a série de termos absolutos converge.

Passo 4

Se a série dos valores absolutos converge, então a série original converge absolutamente. Logo não há apenas convergência condicional — ela é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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