Teste a série para convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
O conteúdo principal é o Teste de Leibniz para séries alternantes (precisamos de
tal que
e
eventualmente decrescente). Também vamos checar a convergência absoluta por comparação com uma p-série.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Passo 3
Para verificar que
é decrescente para
grande, considere a função contínua
Sua derivada é
Como para
temos
, segue
sempre que
. Logo
é decrescente para
.
Passo 4
Pelas condições do Teste de Leibniz (termo geral que vai a zero e decrescente a partir de certo
), a série alternante
converge.
Passo 5
Para verificar se converge absolutamente, compare
com
. De fato,
Como
diverge (p-série com
), a série dos módulos diverge. Portanto não há convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente.