Teste a série para convergência ou divergência.
sumn=1^infty (-1)^n-1 raiznn+4

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^n-1,raiznn+4
O conteúdo principal é o Teste de Leibniz para séries alternantes (precisamos de an=tfracraiznn+4 tal que limntoinftyan=0 e an eventualmente decrescente). Também vamos checar a convergência absoluta por comparação com uma p-série.

Passo 2

Definimos
an = raiznn+4
Calculamos
limntoinftyan = limntoinftyraiznn+4 = limntoinfty1raizncdot11+4/n = 0

Passo 3

Para verificar que an é decrescente para n grande, considere a função contínua
f(x) = raizxx+4, x>0
Sua derivada é
f'(x) = (x+4),12raizx-raizx(x+4)^2 = 4 - x2raizx,(x+4)^2
Como para x>4 temos 4-x<0, segue f'(x)<0 sempre que x>4. Logo an=f(n) é decrescente para n>=5.

Passo 4

Pelas condições do Teste de Leibniz (termo geral que vai a zero e decrescente a partir de certo n), a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n-1an
converge.

Passo 5

Para verificar se converge absolutamente, compare
an=raiznn+4 com 1raizn. De fato,
limntoinftyan1/raizn = limntoinftyraizn/(n+4)1/raizn = limntoinftynn+4 =1
Como sum 1/raizn diverge (p-série com p=1/2<1), a série dos módulos diverge. Portanto não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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