e pede para testar convergência ou divergência. O conteúdo envolve dois testes principais: o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta usando comparação com uma p-série.
Passo 2
Repare que podemos escrever o termo geral como , onde
Isso mostra claramente que a série é alternada (o fator muda de sinal a cada termo) e que .
Passo 3
Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos verificar que
.
é decrescente para .
Primeiro,
Para mostrar que é decrescente, considere a função
Calculando a derivada,
logo (e, portanto, ) é decrescente a partir de .
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, como , é decrescente e tende a zero, a série alternada
converge (ao menos condicionalmente).
Passo 5
Agora testamos convergência absoluta olhando a série dos módulos:
Para comparar, note que
14n^2+1<14n^2=14,1n^2
Como a p-série sum 1/n^2 converge (p=2>1), segue por comparação que sumn=2^infty1/(4n^2+1) também converge. Portanto a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente (e, consequentemente, converge).