Teste a série para convergência ou divergência.
sumn=2^infty (-1)^n+14 n^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=2^infty (-1)^n+14n^2+1
e pede para testar convergência ou divergência. O conteúdo envolve dois testes principais: o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta usando comparação com uma p-série.

Passo 2

Repare que podemos escrever o termo geral como (-1)^n+1an, onde
an=14n^2+1 (n>=2)
Isso mostra claramente que a série é alternada (o fator (-1)^n+1 muda de sinal a cada termo) e que an>0.

Passo 3

Para aplicar o critério de Leibniz, precisamos verificar que
  1. limntoinftyan=0.
  2. an é decrescente para n>=2.
Primeiro,
limntoinftyan=limntoinfty14n^2+1=0
Para mostrar que an é decrescente, considere a função
f(x)=14x^2+1, x>=2
Calculando a derivada,
f'(x)=-8x(4x^2+1)^2<0para x>=2,
logo f (e, portanto, an=f(n)) é decrescente a partir de n=2.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, como an>0, an é decrescente e tende a zero, a série alternada
sumn=2^infty(-1)^n+1an
converge (ao menos condicionalmente).

Passo 5

Agora testamos convergência absoluta olhando a série dos módulos:
sumn=2^inftyl|(-1)^n+1anr| =sumn=2^infty14n^2+1
Para comparar, note que
14n^2+1<14n^2=14,1n^2
Como a p-série sum 1/n^2 converge ( p=2>1), segue por comparação que
sumn=2^infty1/(4n^2+1) também converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, consequentemente, converge).

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