Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=0^infty e^-n n !

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=0^infty n,e^-n
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos não negativos, então se ela convergir, já será absolutamente convergente. Vamos usar o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Denotando an = n,e^-n, calculamos a razão
an+1an = (n+1),e^-(n+1)n,e^-n = n+1n,e^-1
Para ntoinfty temos
limntoinftyan+1an = 1cdot e^-1 = e^-1 <1
Pelo teste da razão, como esse limite é menor que 1, a série sum an converge.

Passo 3

Como todos os termos an são não negativos, a convergência da série implica convergência absoluta. Não há possibilidade de convergência condicional.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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