Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da p-série para a convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos .
Essa é uma p-série com p = tfrac34 < 1. Pelo teste da p-série, qualquer série com p <= 1 diverge. Logo, nossa série não é absolutamente convergente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz para verificar convergência condicional. Definimos bn = 1(n+1)^3/4>0.
Note que
limntoinftybn = 0,
a sequência (bn) é monótona decrescente, pois xmapsto(x+1)^-3/4 decresce para x>=1.
Pelo critério de Leibniz, essas condições garantem que a série alternada sum(-1)^n-1bnconverge.