Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^infty (-1)^n-1(n+1)^34

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^n-1(n+1)^3/4
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o teste da p-série para a convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftygl|(-1)^n-1(n+1)^3/4gr| = sumn=1^infty1(n+1)^3/4.
Essa é uma p-série com p = tfrac34 < 1. Pelo teste da p-série, qualquer série com p <= 1 diverge. Logo, nossa série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz para verificar convergência condicional. Definimos
bn = 1(n+1)^3/4>0.
Note que
  • limntoinftybn = 0,
  • a sequência (bn) é monótona decrescente, pois xmapsto(x+1)^-3/4 decresce para x>=1.
    Pelo critério de Leibniz, essas condições garantem que a série alternada sum(-1)^n-1bn converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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