Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumk=1^infty k^-1,7

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumk=1^inftyk^-1,7
Trata-se de uma p-série do tipo sumk=1^infty1k^p, com p=1,7. Para decidir convergência, usaremos o teste da p-série.

Passo 2

O teste da p-série diz que
sumk=1^infty1k^p
converge se, e somente se, p>1. Aqui temos p=1,7>1, logo a série converge.

Passo 3

Quando uma p-série converge, sua soma pode ser expressa pela função zeta de Riemann:
sumk=1^inftyk^-p ;=;zeta(p)
Portanto
sumk=1^inftyk^-1,7 ;=;zeta(1,7)

Passo 4

Para fins práticos, podemos aproximar numericamente
zeta(1,7)approx2,22

Resposta

A série converge e
sumk=1^inftyk^-1,7 = zeta(1,7)approx2,22

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