Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série geométrica e aplicar o critério de convergência
e a fórmula da soma.
Passo 2
Rewrite o termo geral como uma geométrica. Note que
logo
Assim a série fica
Passo 3
Identifique a razão da geométrica como
cujo módulo é
Portanto a série converge, pois é uma série geométrica com
.
Passo 4
Para calcular a soma, use a fórmula
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora da soma, obtemos
Resposta
A série converge e sua soma é