Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=2^infty (-3)^n+12^3 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=2^infty (-3)^n+12^3n
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma série geométrica e aplicar o critério de convergência lvert rrvert<1 e a fórmula da soma.

Passo 2

Rewrite o termo geral como uma geométrica. Note que
2^3n = 8^n e (-3)^n+1 = (-3),(-3)^n,
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(-3)^n+12^3n = (-3),(-3)^n8^n = (-3)l(tfrac-38r)^n
Assim a série fica
sumn=2^infty(-3)l(tfrac-38r)^n = -3sumn=2^inftyl(tfrac-38r)^n

Passo 3

Identifique a razão da geométrica como
r = -tfrac38,
cujo módulo é
|r| = tfrac38 < 1
Portanto a série converge, pois é uma série geométrica com |r|<1.

Passo 4

Para calcular a soma, use a fórmula
sumn=2^inftyr^n = r^21-r
Aqui r=-tfrac38, então
sumn=2^inftyl(tfrac-38r)^n = l(-tfrac38r)^21 - l(-tfrac38r) = tfrac9641 + tfrac38 = tfrac964tfrac118 = 964cdot811 = 988
Multiplicando pelo fator -3 que estava fora da soma, obtemos
S = -3cdot988 = -2788

Resposta

A série converge e sua soma é
-tfrac2788

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