Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty ne^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^inftyne^n.
O conteúdo é convergência de séries numéricas e soma de séries de potências. Vamos usar o teste da razão para verificar convergência e a fórmula fechada
sumn=1^inftyn x^n = x(1 - x)^2
para lvert xrvert<1.

Passo 2

Aplicando o teste da razão a an = ne^n, calculamos
L = limntoinfty|an+1an| = limntoinfty(n+1)/e^,n+1n/e^,n = limntoinftyn+1ncdot1e = 1e
Como 1e<1, a série converge absolutamente.

Passo 3

Para obter a soma, reconhecemos que
sumn=1^inftyn x^n = x(1-x)^2
para lvert xrvert<1. Aqui x = 1e, então
sumn=1^inftyne^n = sumn=1^inftynl(1er)^n = tfrac1el(1-tfrac1er)^2

Passo 4

Agora simplificamos
tfrac1el(1-tfrac1er)^2 = tfrac1el(tfrace-1er)^2 = tfrac1etfrac(e-1)^2e^2 = e^2e,(e-1)^2 = e(e-1)^2

Resposta

A série converge e sua soma é
e(e-1)^2

Exercícios relacionados