Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, caso ela converja, encontrar a soma. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais precisamente séries telescópicas, e vamos usar a técnica de frações parciais para reescrever o termo geral de forma que o somatório apresente cancelamentos sucessivos.
Passo 2
Escrevemos o termo geral em frações parciais. Note que
Procuramos constantes
e
tais que
Isso implica
Comparando coeficientes, obtemos
e
, logo
e
. Portanto
Passo 3
Definimos a soma parcial
Ao expandir, vemos o efeito telescópico:
Fazendo
, tem-se
Isso mostra que a série converge e que sua soma é
.
Resposta
A série converge e