Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n^2+n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty1n^2+n
e, caso ela converja, encontrar a soma. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais precisamente séries telescópicas, e vamos usar a técnica de frações parciais para reescrever o termo geral de forma que o somatório apresente cancelamentos sucessivos.

Passo 2

Escrevemos o termo geral em frações parciais. Note que
1n^2+n=1n(n+1)
Procuramos constantes A e B tais que
1n(n+1)=An+Bn+1
Isso implica
1 = A(n+1) + Bn = (A+B),n + A
Comparando coeficientes, obtemos A+B=0 e A=1, logo A=1 e B=-1. Portanto
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^Nl(1n - 1n+1r)
Ao expandir, vemos o efeito telescópico:
SN = l(1 - tfrac12r) + l(tfrac12 - tfrac13r) + cdots + l(tfrac1N - tfrac1N+1r) = 1 - 1N+1
Fazendo Ntoinfty, tem-se
limNtoinftySN = 1 - 0 = 1
Isso mostra que a série converge e que sua soma é 1.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1n^2+n = 1

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