Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln nn^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftyln nn^2
e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries positivas e, depois, expressão da soma via a função zeta de Riemann.

Passo 2

Aplicamos o teste da integral imprópria: comparamos com
integral1^inftyln xx^2,dx
Fazendo a primitiva, marcamos
integralln xx^2,dx = integralln xcdot x^-2,dx
e usamos integração por partes com u=ln x, dv=x^-2dx, obtendo
integralln xx^2,dx =-ln x+1x+C
Então
integral1^inftyln xx^2,dx =limttoinftyl[-ln x+1xr]1^t =limttoinftyl(-ln t+1t+!1r) =1<infty
Como ln n/n^2 é decrescente para n>=1 e a integral converge, a série sum ln n/n^2 também converge.

Passo 3

Para achar a soma, lembramos a definição da função zeta de Riemann:
zeta(s)=sumn=1^infty1n^s, s>1
Diferenciando em s sob o somatório, vem
zeta'(s) =ddssumn=1^inftyn^-s =sumn=1^inftyddsl(n^-sr) =-sumn=1^inftyln nn^s
Tomando s=2, obtemos
sumn=1^inftyln nn^2 =-zeta'(2)

Resposta

A série é convergente e
sumn=1^inftyln nn^2 =-zeta'(2) approx0,937548

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