Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries positivas e, depois, expressão da soma via a função zeta de Riemann.
Passo 2
Aplicamos o teste da integral imprópria: comparamos com
Fazendo a primitiva, marcamos
e usamos integração por partes com
,
, obtendo
Então
Como
é decrescente para
e a integral converge, a série
também converge.
Passo 3
Para achar a soma, lembramos a definição da função zeta de Riemann:
Diferenciando em
sob o somatório, vem
Tomando
, obtemos
Resposta
A série é convergente e