Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se for convergente, calcular sua soma. Vamos usar o teste de comparação com séries
e, depois, uma identidade conhecida para séries do tipo
.
Passo 2
Para verificar a convergência, note que, para todo
,
Como
é convergente (série
com
), pelo critério da comparação a série dada também converge.
Passo 3
Reescrevendo o denominador:
Fazendo a mudança de índice
, a série torna-se
Passo 4
É um resultado clássico que, para todo
,
Tomando
obtemos
Resposta
A série converge e sua soma é