Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=0^infty 1n^2+2 n+2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty1n^2+2n+2
e, se for convergente, calcular sua soma. Vamos usar o teste de comparação com séries p e, depois, uma identidade conhecida para séries do tipo sum1/(k^2+a^2).

Passo 2

Para verificar a convergência, note que, para todo n>=1,
n^2+2n+2 >= n^2 Longrightarrow 0 <= 1n^2+2n+2 <= 1n^2
Como sumn=1^infty1/n^2 é convergente (série p com p=2>1), pelo critério da comparação a série dada também converge.

Passo 3

Reescrevendo o denominador:
n^2+2n+2 = (n+1)^2 + 1
Fazendo a mudança de índice k=n+1, a série torna-se
sumn=0^infty1(n+1)^2+1 = sumk=1^infty1k^2+1

Passo 4

É um resultado clássico que, para todo a>0,
sumk=1^infty1k^2+a^2 = -12a^2 ;+; pi2a,coth(pi a)
Tomando a=1 obtemos
sumk=1^infty1k^2+1 = -12 + pi2coth(pi) = pi,coth(pi) -12

Resposta

A série converge e sua soma é
pi,coth(pi) -12

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