Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série
e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo é séries numéricas e, para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais, que revela um caráter telescópico.
Passo 2
Fazendo frações parciais em
, escrevemos
Passo 3
Definimos a soma parcial
Agora dividimos em dois somatórios:
Quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
Passo 4
Para ver se converge, fazemos
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.