Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=2^infty 1n^2-1

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=2^infty 1n^2-1
e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo é séries numéricas e, para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais, que revela um caráter telescópico.

Passo 2

Fazendo frações parciais em
1n^2-1, escrevemos
1n^2-1 = 1(n-1)(n+1) = 12l(1n-1-1n+1r)

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN = sumn=2^N 1n^2-1 = 12sumn=2^Nl(1n-1-1n+1r)
Agora dividimos em dois somatórios:
sumn=2^N1n-1 = sumk=1^N-11k = 1 + 12 + cdots + 1N-1,
sumn=2^N1n+1 = summ=3^N+11m = 13 + 14 + cdots + 1N+1
Quase todos os termos internos se cancelam, sobrando
SN = 12l(1 + tfrac12 - tfrac1N - tfrac1N+1r)

Passo 4

Para ver se converge, fazemos
limNtoinftySN = 12l(1 + tfrac12 - 0 - 0r) = 12cdot32 = 34
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac34.

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