Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^inftynn^2+1
O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação de limites com a série harmônica, já que para n grande o termo tfracnn^2+1 se comporta como tfrac1n.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an = nn^2+1
Como referência, usamos a série harmônica
sumn=1^infty1n,
sabendo que ela diverge. Vamos calcular o limite
L = limntoinftyan1/n = limntoinftynn^2+11n = limntoinftyn^2n^2+1 = 1

Passo 3

Como 0 < L < infty, pelo teste de comparação de limites a série sum an tem o mesmo comportamento da série harmônica. E como
sumn=1^infty1n
é divergente, concluímos que
sumn=1^inftynn^2+1
também é divergente.

Resposta

A série diverge.

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