Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n^2+n+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série numérica
sumn=1^infty1n^2+n+1
ou seja, é conteúdo de séries de termos positivos. Vamos precisar (1) verificar convergência usando comparação com uma p-série e (2) obter a soma, o que faremos por meio de soma parcial e estimativa do resto pela integral.

Passo 2

Compare com a p-série sum1/n^2. Para todo n>=1 temos
n^2+n+1>n^2 Longrightarrow 0<1n^2+n+1<1n^2
Como sumn=1^infty 1/n^2 converge (p-série com p=2>1), por comparação a série dada também converge.

Passo 3

Concluímos que
sumn=1^infty1n^2+n+1
é convergente.

Passo 4

Para estimar a soma S=sumn=1^infty1/(n^2+n+1) usamos:
  • Calculamos a soma parcial até N=100:
S100=sumn=1^1001n^2+n+1approx0,7882
  • Estimamos o resto R100=sumn=101^infty1/(n^2+n+1) por
R100<integral100^inftydxx^2=1100=0,01
Logo
S=S100+R100approx0,7882+0,01=0,7982,
com erro abaixo de 0,01.

Resposta

A série é convergente e sua soma vale aproximadamente
boxed0,80

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