Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 52+3^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty52+3^n
perguntando se ela é convergente e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. O conteúdo envolvido é séries infinitas, sobretudo teste de comparação com séries geométricas e, em seguida, cálculo aproximado da soma por somas parciais e estimativa do restante.

Passo 2

Primeiro, para verificar convergência, note que, quando ntoinfty, temos 3^ngg2 e
52+3^nsim53^n
Como a série geométrica sumn=1^infty3^-n converge (razão r=tfrac13, |r|<1), pelo teste da comparação limítrofe ou direto pela comparação, conclui-se que
sumn=1^infty52+3^n
converge absolutamente.

Passo 3

Para estimar a soma, escrevemos a soma parcial de ordem N:
SN=sumn=1^N52+3^n,
e o restante da série RN=sumn=N+1^infty52+3^n.
Usando que, para n>= N+1,
52+3^n<53^n,
temos o majorante geométrico
RN<sumn=N+1^infty53^n =5/3^,N+11-tfrac13 =52,3^,N
Escolhendo N suficientemente grande, garantimos que RN fique abaixo de qualquer tolerância desejada.

Passo 4

Vamos calcular S10 e estimar R10:
S10 =sumn=1^1052+3^n approx1,717832, R10<52cdot3^10approx52cdot59049approx4,2times10^-5
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sumn=1^infty52+3^n =S10+R10 approx1,717832+0,000042 approx1,717874
Podemos então arredondar a soma para quatro casas decimais.

Resposta

A série converge (comparação com a geométrica de razão tfrac13) e
sumn=1^infty52+3^napprox1,7179

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