Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
perguntando se ela é convergente e, em caso afirmativo, encontrar sua soma. O conteúdo envolvido é séries infinitas, sobretudo teste de comparação com séries geométricas e, em seguida, cálculo aproximado da soma por somas parciais e estimativa do restante.
Passo 2
Primeiro, para verificar convergência, note que, quando
, temos
e
Como a série geométrica
converge (razão
,
), pelo teste da comparação limítrofe ou direto pela comparação, conclui-se que
converge absolutamente.
Passo 3
Para estimar a soma, escrevemos a soma parcial de ordem
:
e o restante da série
.
Usando que, para ,
Usando que, para
temos o majorante geométrico
Escolhendo
suficientemente grande, garantimos que
fique abaixo de qualquer tolerância desejada.
Passo 4
Vamos calcular
e estimar
:
Logo
Podemos então arredondar a soma para quatro casas decimais.
Resposta
A série converge (comparação com a geométrica de razão
) e