Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1raizn(n+1)(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty 1raizn(n+1)(n+2)
ou seja, precisamos (a) decidir se ela converge ou diverge e, caso convirja, (b) estimar o valor de sua soma.
Conteúdos envolvidos: teste de comparação assintótica para séries do tipo n^-p e estimativa de soma por somas parciais e integral de resto.

Passo 2

Para ver convergência usamos comparação com a série sum n^-3/2. Note que, para n>=1,
n(n+1)(n+2);>=;n^3 Longrightarrow 1raizn(n+1)(n+2);<=;1n^3/2
Como sumn=1^infty n^-3/2 é uma p-série com p=tfrac32>1, ela converge. Pelo teste da comparação, nossa série também converge.

Passo 3

Para estimar a soma
S=sumn=1^infty 1raizn(n+1)(n+2)
podemos computar SN=sumn=1^N an numericamente e estimar o resto RN=sumn=N+1^infty an por
RN approx integralN^infty dxx^3/2 = gl[-2,x^-1/2gr]N^infty = 2raizN
Por exemplo, com N=50 temos numericamente
S50approx 1,447e R50approx 2raiz50approx0,283,
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S approx S50+R50approx 1,447+0,283=1,730
Repetindo com N maior, converge para aproximadamente
Sapprox 1,7298

Resposta

A série converge e sua soma é aproximadamente
sumn=1^infty1raizn(n+1)(n+2)approx 1,7298

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