Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 3+cos n3^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty3+cos n3^n
e, se for convergente, calcular sua soma.
Este problema envolve somar séries geométricas e séries do tipo sum r^ncos(ntheta).

Passo 2

Separemos em duas parcelas:
sumn=1^infty3+cos n3^n = sumn=1^infty33^n ;+;sumn=1^inftycos n3^n = S1 + S2

Passo 3

Para
S1 = sumn=1^infty33^n = 3sumn=1^infty13^n,
vemos que é uma série geométrica de razão r=tfrac13. Logo
S1 = 3cdottfrac131-tfrac13 = 32

Passo 4

Para
S2 = sumn=1^inftycos n3^n,
usamos cos n = Re(e^i n). Assim
S2 = Rel(sumn=1^inftyl(tfrace^i3r)^nr) = Rel(e^i/31 - e^i/3r) = Rel(e^i3 - e^ir)
Um cálculo algébrico (multiplicando numerador e denominador por 3 - e^-i) leva a
S2 = 3cos1 - 110 - 6cos1

Passo 5

Somando S1 e S2, obtemos
S = 32 + 3cos1 - 110 - 6cos1 = 7 - 3cos15 - 3cos1

Resposta

A série converge e sua soma é
7 - 3cos15 - 3cos1

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