Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty n+1n 2^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty n+1n,2^n
verificando convergência e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar decomposição em séries conhecidas (geométrica e a série de Taylor de -ln(1-x)).

Passo 2

Observe que
n+1n,2^n = nn,2^n + 1n,2^n = 12^n + 1n,2^n
Logo, a série original se divide em duas:
sumn=1^infty12^n e sumn=1^infty1n,2^n

Passo 3

A primeira parte é uma série geométrica de razão 1/2. Sabemos que
sumn=1^infty12^n = 1/21-1/2 =1

Passo 4

A segunda parte é a série
sumn=1^infty(1/2)^nn,
que coincide com a expansão de Taylor
-ln(1-x)=sumn=1^inftyx^nn,
para |x|<1. Tomando x=1/2, obtemos
sumn=1^infty1n,2^n =-lnl(1-tfrac12r) =-lnl(tfrac12r) =ln2

Passo 5

Como ambas as partes convergem, a série original converge. A soma é
1 + ln2

Resposta

A série converge e sua soma é 1+ln2.

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