Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
verificando convergência e, em caso afirmativo, calcular sua soma. Esse é um problema de séries numéricas e vamos usar decomposição em séries conhecidas (geométrica e a série de Taylor de
).
Passo 2
Observe que
Logo, a série original se divide em duas:
Passo 3
A primeira parte é uma série geométrica de razão
. Sabemos que
Passo 4
A segunda parte é a série
que coincide com a expansão de Taylor
para
. Tomando
, obtemos
Passo 5
Como ambas as partes convergem, a série original converge. A soma é
Resposta
A série converge e sua soma é
.