Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
que é uma série numérica. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação assintótica (ou critério da série-
). Vamos usar que, para
grande, a parte dominante de
é
.
Passo 2
Analisamos o comportamento de ordem de cada termo. Para
grande,
Logo,
Passo 3
Aplicamos o critério da série-
. Sabemos que
converge porque
. Como para
grande o termo geral da nossa série é comparável a
, concluímos que
converge absolutamente. Note que o índice
torna o termo indefinido; portanto, a discussão de convergência vale a partir de
.
Passo 4
Não existe uma forma elementar conhecida para somar
a um valor fechado em termos de constantes usuais.
Resposta
A série é convergente (convergência absoluta, por comparação com uma série-
de expoente
). Não há expressão fechada simples para sua soma.