Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=0^infty n+5raiz[3]n^7+n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=0^infty n+5raiz[3]n^7+n^2,
que é uma série numérica. O conteúdo principal aqui é o teste de comparação assintótica (ou critério da série- p). Vamos usar que, para n grande, a parte dominante de raiz[3]n^7+n^2 é n^7/3.

Passo 2

Analisamos o comportamento de ordem de cada termo. Para n grande,
raiz[3]n^7 + n^2 = n^7/3,raiz[3]1 + n^-5 sim n^7/3
Logo,
n+5raiz[3]n^7+n^2 sim nn^7/3 = n^-4/3

Passo 3

Aplicamos o critério da série- p. Sabemos que
sumn=1^infty n^-4/3
converge porque 4/3>1. Como para n grande o termo geral da nossa série é comparável a n^-4/3, concluímos que
sumn=1^infty n+5raiz[3]n^7+n^2
converge absolutamente. Note que o índice n=0 torna o termo indefinido; portanto, a discussão de convergência vale a partir de n=1.

Passo 4

Não existe uma forma elementar conhecida para somar
sumn=1^infty n+5raiz[3]n^7+n^2
a um valor fechado em termos de constantes usuais.

Resposta

A série é convergente (convergência absoluta, por comparação com uma série- p de expoente p=4/3>1). Não há expressão fechada simples para sua soma.

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