Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente e, em caso afirmativo, calcular a sua soma. O conteúdo envolve teste de convergência de séries com fatoriais e uso da expansão de
.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão ao termo geral
Calculamos
e observamos que
Logo a série converge absolutamente.
Passo 3
Para encontrar a soma, considere a função geradora
Partimos da série de
e^x :
Diferenciando e multiplicando por
x , temos
Chame isso de
T(x)=x e^x . Diferenciando novamente,
Multiplicando por
x volta-se a ter
n^2x^n , logo
Passo 4
A soma da série original corresponde a
S(3) :
Resposta
A série converge e sua soma é
12e^3 .