Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=0^infty 3^n n^2n!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=0^infty 3^nn^2n!
é convergente e, em caso afirmativo, calcular a sua soma. O conteúdo envolve teste de convergência de séries com fatoriais e uso da expansão de e^x.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão ao termo geral
an = 3^nn^2n!
Calculamos
|an+1an| = 3^n+1(n+1)^2/(n+1)!3^nn^2/n! =3,(n+1)^2(n+1),n^2 =3,n+1n^2
e observamos que
limntoinfty3,n+1n^2 =0<1
Logo a série converge absolutamente.

Passo 3

Para encontrar a soma, considere a função geradora
S(x)=sumn=0^inftyn^2x^nn!
Partimos da série de e^x:
e^x=sumn=0^inftyx^nn!
Diferenciando e multiplicando por x, temos
x,ddxe^x =sumn=0^inftyn,x^nn! = x e^x
Chame isso de T(x)=x e^x. Diferenciando novamente,
T'(x) =ddxl(xe^xr) =e^x+xe^x =(1+x)e^x =sumn=0^inftyn^2x^n-1n!
Multiplicando por x volta-se a ter n^2x^n, logo
S(x)=x,T'(x)=x(1+x)e^x

Passo 4

A soma da série original corresponde a S(3):
sumn=0^infty3^nn^2n! =S(3) =3(1+3)e^3 =12e^3

Resposta

A série converge e sua soma é 12e^3.

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