Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, em caso de convergência, determinar sua soma.
O conteúdo aqui é o Teste da Série Alternante (ou Critério de Leibniz) e manipulações elementares de séries conhecidas (por exemplo, a série alternada harmônica que soma ).
O conteúdo aqui é o Teste da Série Alternante (ou Critério de Leibniz) e manipulações elementares de séries conhecidas (por exemplo, a série alternada harmônica que soma
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Critério de Leibniz. Defina
- Para
, . - A função
tem derivada
logo
é decrescente a partir de
.
3.
3.
Portanto a série alternante
converge.
Passo 3
Para achar a soma, racionalize o termo geral:
Então
O segundo somatório é, com
,
O primeiro somatório, por manipulação de pares (ou computação numérica rigorosa), converge a
Somando os dois,
Resposta
A série converge (condicionalmente) e sua soma é