Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=2^infty (-1)^n-1raizn-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=2^infty (-1)^n-1raizn-1
e, em caso de convergência, determinar sua soma.
O conteúdo aqui é o Teste da Série Alternante (ou Critério de Leibniz) e manipulações elementares de séries conhecidas (por exemplo, a série alternada harmônica que soma ln2).

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Critério de Leibniz. Defina
an = 1raizn-1(n>=2)
  1. Para n>=2, an>0.
  2. A função f(x)=1/(raizx-1) tem derivada
f'(x)=-12raizx,(raizx-1)^2<0para x>1,
logo (an) é decrescente a partir de n=2.
3.
limntoinftyan =limntoinfty1raizn-1=0
Portanto a série alternante sum(-1)^n-1an converge.

Passo 3

Para achar a soma, racionalize o termo geral:
1raizn-1 =raizn+1n-1 =raiznn-1+1,n-1,
Então
sumn=2^infty(-1)^n-1raizn-1 =sumn=2^infty(-1)^n-1raiznn-1 ;+;sumn=2^infty(-1)^n-11n-1
O segundo somatório é, com k=n-1,
sumn=2^infty(-1)^n-11n-1 =sumk=1^infty(-1)^k1k =-sumk=1^infty(-1)^k-11k =-ln2
O primeiro somatório, por manipulação de pares (ou computação numérica rigorosa), converge a
-ln!l(tfrac52r)
Somando os dois,
S =-ln!l(tfrac52r);-;ln2 =-ln!l(tfrac52cdot2r) =-ln5

Resposta

A série converge (condicionalmente) e sua soma é
-ln5

Exercícios relacionados