Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=0^infty (-1)^n+1n ln n

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar a convergência da série
sumn=2^infty(-1)^n+1nln n
e, se convergente, calcular sua soma.
O conteúdo é o Teste de Leibniz (série alternada) e veremos também a convergência absoluta (Teste da Integral ou Condensação de Cauchy).

Passo 2

Definimos
an = 1nln n, n>=2
( 1) Temos limntoinftyan=0 porque nln ntoinfty.
( 2) Para n>=3, a função f(x)=1/(xln x) é decrescente (basta derivar e ver que f'(x)<0 para x>e).
Logo (an) é decrescente para n>=3 e tende a zero.

Passo 3

Pelo Teste de Leibniz, como ansearrow 0 e os sinais alternam em (-1)^n+1 an, a série
sumn=2^infty (-1)^n+1n ln n
converge.

Passo 4

Para a convergência absoluta, comparamos
sumn=2^inftyan =sumn=2^infty1nln n
Pelo Teste da Integral,
integral2^inftydxxln x =l[ln(ln x)r]2^infty =infty,
logo sum an diverge.
Portanto a convergência é condicional, não absoluta.

Passo 5

Para estimar numericamente a soma, usamos o resto do teste de Leibniz:
se SN é a soma parcial até n=N, então
l|S - SNr|<= aN+1=1(N+1)ln(N+1)
Tomando N=20, computamos
S20=sumn=2^20(-1)^n+1nln napprox -0,529
e
a21=121ln21approx0,016
Logo
Sapprox S20pm a21approx -0,529pm0,016,
isto é,
Sapprox -0,526(com erro menor que 0,02)

Resposta

A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz e sua soma numérica é
sumn=2^infty(-1)^n+1nln napprox -0,526

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