Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar a convergência da série
e, se convergente, calcular sua soma.
O conteúdo é o Teste de Leibniz (série alternada) e veremos também a convergência absoluta (Teste da Integral ou Condensação de Cauchy).
Passo 2
Definimos
() Temos porque .
() Para , a função é decrescente (basta derivar e ver que para ).
Logo é decrescente para e tende a zero.
Passo 3
Pelo Teste de Leibniz, como e os sinais alternam em , a série
converge.
Passo 4
Para a convergência absoluta, comparamos
Pelo Teste da Integral,
logo diverge.
Portanto a convergência é condicional, não absoluta.
Passo 5
Para estimar numericamente a soma, usamos o resto do teste de Leibniz:
se é a soma parcial até , então
Tomando N=20, computamos
S20=sumn=2^20(-1)^n+1nln napprox -0,529
e
a21=121ln21approx0,016
Logo
Sapprox S20pm a21approx -0,529pm0,016,
isto é,
Sapprox -0,526(com erro menor que 0,02)
Resposta
A série converge condicionalmente pelo Teste de Leibniz e sua soma numérica é