Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{2}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é \dfrac{\cos(n)}{n^{2}}.
  • O numerador é \cos(n), onde n é um inteiro positivo.
  • O denominador é n^{2}, que tende a zero quando dividido, mas cresce em n.
    A pergunta é: a série converge (e, em caso afirmativo, é convergência absoluta ou condicional)?

Passo 2

Observação importante sobre o numerador: para todo inteiro positivo n vale
-1 \le \cos(n) \le 1,
então, em valor absoluto,
\left|\cos(n)\right| \le 1.
Isto é uma propriedade básica da função cosseno: seu valor está sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Considere a série dos valores absolutos (para testar convergência absoluta):
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{\cos(n)}{n^{2}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos(n)|}{n^{2}}.
Usando a desigualdade do Passo 2, para todo n temos
\frac{|\cos(n)|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Portanto cada termo da série dos módulos é menor ou igual ao termo correspondente da série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Agora vamos lembrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
é convergente. Uma forma simples de ver isso é pelo teste da integral: considere a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} para x\ge1. Então
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty} = 1,
ou seja, a integral é finita; pelo teste da integral a série de termos positivos \sum 1/n^{2} converge. (Também é o caso conhecido do “p‑série” com p=2>1.)

Passo 5

Aplicando o teste da comparação (para séries de termos não negativos): como
0 \le \frac{|\cos(n)|}{n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}
e \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos(n)|}{n^{2}}
converge. Ou seja, a série original converge absolutamente.
Lembrete do conceito usado: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (convergência absoluta implica convergência).

Passo 6

Conclusão: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{2}} converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

\text{Converge absolutamente (logo converge).}

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