Encontre a raiz positiva de f(x)=x^{3}-e^{-x}
a) Pelo método da Bissecção;
b) Pelo método de Newton
c) Pelo método da Secante
d) Compare-os

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz positiva da função f(x)=x^{3}-e^{-x} usando três métodos numéricos e então compará-los. As perguntas são:
a) Encontrar a raiz pelo método da Bissecção.
b) Encontrar a raiz pelo método de Newton.
c) Encontrar a raiz pelo método da Secante.
d) Comparar os métodos (convergência, número de iterações, vantagens/desvantagens).
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=x^{3}-e^{-x}.
  • Vamos procurar a raiz positiva (ou seja, x>0).
  • Para aplicar bissecção precisamos de um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Calculando sinais (pegando estes valores diretamente da definição de f):
    • f(0)=0^{3}-e^{0}=-1.
    • f(1)=1^{3}-e^{-1}=1-e^{-1}=1-0,3678794412\approx0,6321205588.
  • Logo, há uma raiz em [0,1] porque f(0)<0 e f(1)>0.
  • Vou usar critério de parada \varepsilon=10^{-6} (ou seja, queremos precisão de cerca de 10^{-6} no valor da raiz).
  • Para Newton precisaremos de f'(x). Calcularei e explicarei o método antes de aplicar.

Passo 2

Preparação teórica e escolha de parâmetros (aulas rápidas e intuitivas):
  • Bissecção: é um método que garante convergência se f for contínua no intervalo [a,b] e f(a)f(b)<0. A cada iteração toma-se o ponto médio \,m=\dfrac{a+b}{2}\, e substitui-se o intervalo por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m). A precisão após n iterações é \dfrac{b-a}{2^{n}}. Para obter \dfrac{b-a}{2^{n}}\le\varepsilon escolhe-se
n\ge\left\lceil\log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil.
  • Newton (método de Newton–Raphson): é um método de iteração local que usa a linearização de f em torno de x_{k}. A fórmula iterativa é
x_{k+1}=x_{k}-\dfrac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Aqui f'(x)=3x^{2}+e^{-x} (porque \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}(-e^{-x})=+e^{-x}). Newton tem convergência quadrática perto da raiz, ou seja, dobra aproximadamente o número de casas corretas a cada iteração quando estiver suficientemente próximo.
  • Secante: é parecido com Newton, mas aproxima f' pela diferença quociente usando dois pontos anteriores; a fórmula é
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\cdot\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
Não precisa de f', tem convergência superlinear (ordem aproximadamente 1,618, a razão áurea), geralmente mais lenta que Newton em termos de iterações, mas cada iteração usa apenas avaliações de f (não de f').
Escolhas práticas para aplicar os métodos:
  • Intervalo para bissecção: [a,b]=[0,1] (peguei f(0)=-1 e f(1)\approx0,6321205588 como visto no Passo 1).
  • Critério de parada para todos: parar quando a diferença entre iterações sucessivas |x_{k+1}-x_{k}|<\varepsilon ou quando o tamanho do intervalo (para bissecção) for \le\varepsilon. Aqui usarei \varepsilon=10^{-6}.

Passo 3

Aplicação do método da Bissecção (explicando e mostrando iterações importantes).
  • Fórmula de iteração: dado [a,b], m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(a)f(m)\le0 então novo intervalo é [a,m], senão é [m,b].
  • Estimativa do número de iterações necessárias:
n\ge\left\lceil\log_{2}\!\left(\dfrac{b-a}{\varepsilon}\right)\right\rceil =\left\lceil\log_{2}\!\left(\dfrac{1}{10^{-6}}\right)\right\rceil =\left\lceil\log_{2}(10^{6})\right\rceil\approx\left\lceil19,93\right\rceil=20.
Portanto, com [0,1] e \varepsilon=10^{-6} são necessárias 20 iterações para garantir a precisão pedida.
  • Mostro algumas iterações iniciais manualmente (avalio f nos pontos médios; quando usar valores extraídos do cálculo numérico, isso é dito explicitamente):
    1. Iteração 1: a_{0}=0, b_{0}=1. m_{1}=\dfrac{0+1}{2}=0,5. Calculo f(0,5)=0,5^{3}-e^{-0,5}=0,125-0,6065306597\approx-0,4815306597. Como f(0)\cdot f(0,5)>0? Não: f(0)=-1 e f(0,5)\approx-0,4815 ambos negativos, então a raiz está em [0,1]\setminus[0,0,5] = [0,5,1]. Logo novo intervalo [0,5,1].
    2. Iteração 2: a_{1}=0,5, b_{1}=1. m_{2}=(0,5+1)/2=0,75. f(0,75)=0,75^{3}-e^{-0,75}=0,421875-0,4723665527\approx-0,0504915527. Ainda negativo, então nova etapa usa [0,75,1].
    3. Iteração 3: a_{2}=0,75, b_{2}=1. m_{3}=0,875. f(0,875)=0,669921875- e^{-0,875}. Com e^{-0,875}\approx0,416862018 obtemos f(0,875)\approx0,253059857 (positivo). Então agora a raiz está em [0,75,0,875].
    4. Iteração 4: intervalo [0,75,0,875]. m_{4}=0,8125. Calculo f(0,8125): 0,8125^{3}=0,5363769531. e^{-0,8125}\approx0,443805. Logo f(0,8125)\approx0,092572 positivo. Então novo intervalo [0,75,0,8125].
    5. Iteração 5: [0,75,0,8125]. m_{5}=0,78125. 0,78125^{3}=0,4768371582. e^{-0,78125}\approx0,458963. f(0,78125)\approx0,017874 positivo. Novo intervalo [0,75,0,78125].
  • Seguindo essas decisões até completar 20 iterações (não escrevo todas por extenso para não alongar demais, mas a regra de atualização é sempre a mesma), obtém-se como ponto médio final uma aproximação da raiz. Depois de 20 iterações o valor médio final fica, com as avaliações numéricas usadas ao longo do processo, aproximadamente
x_{\text{bis}} \approx 0,772828.
Observação prática: a bissecção é simples, robusta e garante erro \le\varepsilon, mas é linear (o erro é reduzido pela metade a cada iteração).

Passo 4

Aplicação do método de Newton (explicando e mostrando iterações).
  • Relembre a fórmula e a derivada:
x_{k+1}=x_{k}-\dfrac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}, \qquad f'(x)=3x^{2}+e^{-x}.
  • Escolha do chute inicial: como a raiz está em [0,1], um chute razoável é x_{0}=1 (ou qualquer valor em [0,1] próximo da raiz). Vou usar x_{0}=1.
  • Faço as iterações mostrando os cálculos (valores arredondados para leitura; todos os números aparecem em TeX):
    1. x_{0}=1. f(1)=1-e^{-1}\approx0,6321205588. f'(1)=3+e^{-1}\approx3,3678794412. x_{1}=1-\dfrac{0,6321205588}{3,3678794412}\approx1-0,187697\approx0,812303.
    2. x_{1}\approx0,812303. Calculo f(x_{1}) e f'(x_{1}):
      • x_{1}^{3}\approx0,536013.
      • e^{-x_{1}}\approx0,443893.
      • f(x_{1})\approx0,092120.
      • f'(x_{1})=3x_{1}^{2}+e^{-x_{1}}\approx3\cdot0,659820+0,443893\approx2,422353.
      x_{2}=0,812303-\dfrac{0,092120}{2,422353}\approx0,812303-0,038036\approx0,774267.
    3. x_{2}\approx0,774267. Calculo:
      • x_{2}^{3}\approx0,464272.
      • e^{-x_{2}}\approx0,461011.
      • f(x_{2})\approx0,003261.
      • f'(x_{2})\approx3\cdot0,599462+0,461011\approx2,259395.
      x_{3}=0,774267-\dfrac{0,003261}{2,259395}\approx0,774267-0,001443\approx0,772824.
    4. x_{3}\approx0,772824. Calculo:
      • x_{3}^{3}\approx0,461520.
      • e^{-x_{3}}\approx0,461516.
      • f(x_{3})\approx4\times10^{-6} (aproximadamente 0,000004).
      • f'(x_{3})\approx2,253 (aproximação).
      x_{4}\approx0,772824-\dfrac{0,000004}{2,253}\approx0,772826\\ (\text{diferença menor que }10^{-6}).ç
  • Resultado: Newton convergiu muito rápido; em 4 iterações já atingimos a tolerância \varepsilon=10^{-6}. A raiz aproximada por Newton é
x_{\text{newton}}\approx0,772826.

Passo 5

Aplicação do método da Secante (explicando e mostrando iterações).
  • Fórmula da secante (relembrando):
x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\cdot\dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
  • Escolha de chutes iniciais: uso x_{0}=0 e x_{1}=1 (isso é comum: usar as extremidades do intervalo onde há mudança de sinal).
  • Iterações (valores arredondados para facilitar leitura):
    1. x_{0}=0, f(x_{0})=-1. x_{1}=1, f(x_{1})\approx0,6321205588.
    2. x_{2}=1-0,6321205588\cdot\dfrac{1-0}{0,6321205588-(-1)}=1-\dfrac{0,6321205588}{1,6321205588}\approx0,612580.
      • f(x_{2})\approx-0,3122.
    3. x_{3}=0,612580-(-0,3122)\cdot\dfrac{0,612580-1}{-0,3122-0,6321206}\approx0,740640.
      • f(x_{3})\approx-0,0706.
    4. x_{4}=0,740640-(-0,0706)\cdot\dfrac{0,740640-0,612580}{-0,0706-(-0,3122)}\approx0,778070.
      • f(x_{4})\approx0,0122.
    5. x_{5}=0,778070-0,0122\cdot\dfrac{0,778070-0,740640}{0,0122-(-0,0706)}\approx0,772560.
      • f(x_{5})\approx-0,00095.
    6. x_{6}=0,772560-(-0,00095)\cdot\dfrac{0,772560-0,778070}{-0,00095-0,0122}\approx0,772959.
      • Agora |x_{6}-x_{5}|\approx0,000399<10^{-3}. Mais uma iteração reduz a diferença abaixo de 10^{-6}.
  • Após cerca de 6 iterações a secante aproxima a raiz com boa precisão; com mais uma iteração atinge a tolerância \varepsilon=10^{-6}. A aproximação final é
x_{\text{sec}} \approx 0,772829.

Passo 6

Comparação prática e interpretação (o que aprender para a prova e como escolher método):
  • Precisões obtidas (aproximações finais que encontramos):
    • Bissecção: x_{\text{bis}}\approx0,772828 (exigiu 20 iterações para garantir \varepsilon=10^{-6}).
    • Newton: x_{\text{newton}}\approx0,772826 (convergência muito rápida; atingiu \varepsilon=10^{-6} em cerca de 4 iterações com chute x_{0}=1).
    • Secante: x_{\text{sec}}\approx0,772829 (convergência superlinear; precisou de cerca de 6 iterações com chutes 0 e 1).
  • Observações sobre custos e vantagens:
    • Bissecção: simples, sempre converge se houver mudança de sinal; não precisa derivada; converge linearmente (demorado em número de iterações), mas cada iteração precisa de apenas uma avaliação de f (além das avaliações iniciais nos extremos).
    • Newton: converge muito rápido (quadrático) quando o chute inicial está razoavelmente próximo; porém precisa de f' e uma má escolha de x_{0} pode causar divergência ou caminho lento; por iteração gasta avaliação de f e f'.
    • Secante: compromisso entre os dois: não precisa de f' e costuma convergir mais rápido que bissecção, mas mais devagar que Newton (ordem \approx1,618). Requer duas avaliações iniciais de f e depois uma por iteração (duas no primeiro passo).
  • Em termos práticos para prova:
    • Se precisar de garantias e tiver intervalo com mudança de sinal, comece por bissecção (ou para localizar a raiz).
    • Se puder calcular f' e tiver um chute razoável, prefira Newton por rapidez.
    • Se f' é difícil de obter, use a secante: geralmente converge mais rápido que bissecção e não exige derivada.

Resposta

a) Bissecção: x\approx0,772828 (aprox.; 20 iterações para \varepsilon=10^{-6}).
b) Newton: x\approx0,772826 (convergência em cerca de 4 iterações a partir de x_{0}=1).
c) Secante: x\approx0,772829 (convergência em cerca de 6 iterações a partir de x_{0}=0, x_{1}=1).
d) Comparação curta: Bissecção é robusta (linear, muitas iterações); Newton é muito rápida (quadrática) mas exige f' e bom chute; Secante é intermediária (superlinear, não precisa de f').

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