Encontre a raiz positiva de
a) Pelo método da Bissecção;
b) Pelo método de Newton
c) Pelo método da Secante
d) Compare-os
a) Pelo método da Bissecção;
b) Pelo método de Newton
c) Pelo método da Secante
d) Compare-os
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a raiz positiva da função
usando três métodos numéricos e então compará-los. As perguntas são:
a) Encontrar a raiz pelo método da Bissecção.
b) Encontrar a raiz pelo método de Newton.
c) Encontrar a raiz pelo método da Secante.
d) Comparar os métodos (convergência, número de iterações, vantagens/desvantagens).
a) Encontrar a raiz pelo método da Bissecção.
b) Encontrar a raiz pelo método de Newton.
c) Encontrar a raiz pelo método da Secante.
d) Comparar os métodos (convergência, número de iterações, vantagens/desvantagens).
Informações fornecidas e observações iniciais:
- A função é
. - Vamos procurar a raiz positiva (ou seja,
). - Para aplicar bissecção precisamos de um intervalo
com . - Calculando sinais (pegando estes valores diretamente da definição de
): -
. -
.
-
- Logo, há uma raiz em
porque e . - Vou usar critério de parada
(ou seja, queremos precisão de cerca de no valor da raiz). - Para Newton precisaremos de
. Calcularei e explicarei o método antes de aplicar.
Passo 2
Preparação teórica e escolha de parâmetros (aulas rápidas e intuitivas):
- Bissecção: é um método que garante convergência se
for contínua no intervalo e . A cada iteração toma-se o ponto médio e substitui-se o intervalo por ou conforme o sinal de . A precisão após iterações é . Para obter escolhe-se
- Newton (método de Newton–Raphson): é um método de iteração local que usa a linearização de
em torno de . A fórmula iterativa é
Aqui
(porque
e
). Newton tem convergência quadrática perto da raiz, ou seja, dobra aproximadamente o número de casas corretas a cada iteração quando estiver suficientemente próximo.
- Secante: é parecido com Newton, mas aproxima
pela diferença quociente usando dois pontos anteriores; a fórmula é
Não precisa de
, tem convergência superlinear (ordem aproximadamente
, a razão áurea), geralmente mais lenta que Newton em termos de iterações, mas cada iteração usa apenas avaliações de
(não de
).
Escolhas práticas para aplicar os métodos:
- Intervalo para bissecção:
(peguei e como visto no Passo 1). - Critério de parada para todos: parar quando a diferença entre iterações sucessivas
ou quando o tamanho do intervalo (para bissecção) for . Aqui usarei .
Passo 3
Aplicação do método da Bissecção (explicando e mostrando iterações importantes).
- Fórmula de iteração: dado
, . Se então novo intervalo é , senão é . - Estimativa do número de iterações necessárias:
Portanto, com
e
são necessárias
iterações para garantir a precisão pedida.
- Mostro algumas iterações iniciais manualmente (avalio
nos pontos médios; quando usar valores extraídos do cálculo numérico, isso é dito explicitamente): - Iteração 1:
, . . Calculo . Como ? Não: e ambos negativos, então a raiz está em . Logo novo intervalo . - Iteração 2:
, . . . Ainda negativo, então nova etapa usa . - Iteração 3:
, . . . Com obtemos (positivo). Então agora a raiz está em . - Iteração 4: intervalo
. . Calculo : . . Logo positivo. Então novo intervalo . - Iteração 5:
. . . . positivo. Novo intervalo .
- Iteração 1:
- Seguindo essas decisões até completar
iterações (não escrevo todas por extenso para não alongar demais, mas a regra de atualização é sempre a mesma), obtém-se como ponto médio final uma aproximação da raiz. Depois de iterações o valor médio final fica, com as avaliações numéricas usadas ao longo do processo, aproximadamente
Observação prática: a bissecção é simples, robusta e garante erro
, mas é linear (o erro é reduzido pela metade a cada iteração).
Passo 4
Aplicação do método de Newton (explicando e mostrando iterações).
- Relembre a fórmula e a derivada:
- Escolha do chute inicial: como a raiz está em
, um chute razoável é (ou qualquer valor em próximo da raiz). Vou usar . - Faço as iterações mostrando os cálculos (valores arredondados para leitura; todos os números aparecem em TeX):
-
. . . -
. Calculo e : -
. -
. -
. -
.
-
-
. Calculo: -
. -
. -
. -
.
-
-
. Calculo: -
. -
. -
(aproximadamente ). -
(aproximação).
-
-
- Resultado: Newton convergiu muito rápido; em
iterações já atingimos a tolerância . A raiz aproximada por Newton é
Passo 5
Aplicação do método da Secante (explicando e mostrando iterações).
- Fórmula da secante (relembrando):
- Escolha de chutes iniciais: uso
e (isso é comum: usar as extremidades do intervalo onde há mudança de sinal). - Iterações (valores arredondados para facilitar leitura):
-
, . , . -
-
.
-
-
-
.
-
-
-
.
-
-
-
.
-
-
- Agora
. Mais uma iteração reduz a diferença abaixo de .
- Agora
-
- Após cerca de
iterações a secante aproxima a raiz com boa precisão; com mais uma iteração atinge a tolerância . A aproximação final é
Passo 6
Comparação prática e interpretação (o que aprender para a prova e como escolher método):
- Precisões obtidas (aproximações finais que encontramos):
- Bissecção:
(exigiu iterações para garantir ). - Newton:
(convergência muito rápida; atingiu em cerca de iterações com chute ). - Secante:
(convergência superlinear; precisou de cerca de iterações com chutes e ).
- Bissecção:
- Observações sobre custos e vantagens:
- Bissecção: simples, sempre converge se houver mudança de sinal; não precisa derivada; converge linearmente (demorado em número de iterações), mas cada iteração precisa de apenas uma avaliação de
(além das avaliações iniciais nos extremos). - Newton: converge muito rápido (quadrático) quando o chute inicial está razoavelmente próximo; porém precisa de
e uma má escolha de pode causar divergência ou caminho lento; por iteração gasta avaliação de e . - Secante: compromisso entre os dois: não precisa de
e costuma convergir mais rápido que bissecção, mas mais devagar que Newton (ordem ). Requer duas avaliações iniciais de e depois uma por iteração (duas no primeiro passo).
- Bissecção: simples, sempre converge se houver mudança de sinal; não precisa derivada; converge linearmente (demorado em número de iterações), mas cada iteração precisa de apenas uma avaliação de
- Em termos práticos para prova:
- Se precisar de garantias e tiver intervalo com mudança de sinal, comece por bissecção (ou para localizar a raiz).
- Se puder calcular
e tiver um chute razoável, prefira Newton por rapidez. - Se
é difícil de obter, use a secante: geralmente converge mais rápido que bissecção e não exige derivada.
Resposta
a) Bissecção:
(aprox.;
iterações para
).
b) Newton: (convergência em cerca de
iterações a partir de
).
c) Secante: (convergência em cerca de
iterações a partir de
,
).
d) Comparação curta: Bissecção é robusta (linear, muitas iterações); Newton é muito rápida (quadrática) mas exige e bom chute; Secante é intermediária (superlinear, não precisa de
).
b) Newton:
c) Secante:
d) Comparação curta: Bissecção é robusta (linear, muitas iterações); Newton é muito rápida (quadrática) mas exige