Determine a série de Fourier de f(x) que supomos possuir o período 2 \pi.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{\pi}{2}+x & \text { se } & -\pi<x<0 \\\ \frac{\pi}{2}-x & \text { se } & 0<x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)= \begin{cases} \dfrac\pi2 + x, & -\pi < x < 0,\\[6pt] \dfrac\pi2 - x, & 0 < x < \pi. \end{cases}
O conteúdo envolvido é o desenvolvimento em série de Fourier para funções periódicas, e vamos usar que, se a função for par, só aparecem termos em cosseno.]

Passo 2

Verificamos que f é par porque para x>0
f(-x)=\frac\pi2 +(-x)=\frac\pi2 - x=f(x).
Logo todos os coeficientes b_n (seno) são zero, e a série tem a forma
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx).

Passo 3

Calcular a_0. Por definição
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x.
Como f é par,
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(\frac\pi2 - x\Bigr)\mathrm{d}x =\frac{2}{\pi}\Bigl[\frac\pi2\,x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{2}{\pi}\bigl(\tfrac{\pi^2}{2}-\tfrac{\pi^2}{2}\bigr)=0.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(\frac\pi2 - x\Bigr)\cos(nx)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Avaliar
I_n=\int_{0}^{\pi}\Bigl(\frac\pi2 - x\Bigr)\cos(nx)\,\mathrm{d}x
por partes, com u=\frac\pi2 - x, \mathrm{d}v=\cos(nx)\,\mathrm{d}x. Então
I_n=\Bigl[\bigl(\tfrac\pi2 - x\bigr)\frac{\sin(nx)}{n}\Bigr]_0^\pi +\frac{1}{n}\int_0^\pi\sin(nx)\,\mathrm{d}x =0+\frac{1}{n}\Bigl[-\frac{\cos(nx)}{n}\Bigr]_0^\pi =\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Assim
a_n=\frac{2}{\pi}\,\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Para n par temos 1-(-1)^n=0, e para n=2k+1 impar vem 1-(-1)^n=2, logo
a_{2k+1}=\frac{4}{\pi\,(2k+1)^2}, \qquad a_{2k}=0.

Resposta

\boxed{% f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi\,(2k+1)^2}\,\cos\bigl((2k+1)x\bigr).% }

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