Determine a série de Fourier de f(x) que supomos possuir o período 2 \pi. f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x & \text { se } & -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\\\ 0 & \text { se } & \frac{\pi}{2}<x<\frac{\\ 3 pi}{2}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função
\[f(x)= \begin{cases} x, & -\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\\\ 0, & \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}, \end{cases}
estendida de forma periódica. Para resolver, vamos usar a forma trigonométrica da série de Fourier em ((-\pi,\pi)]: f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr],
onde a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.
Passo 2
Primeiro notamos que f(x)=0 para x\in(\pi/2,\pi]\cup[-\pi,-\pi/2). Logo