Determine a série de Fourier de f(x) que supomos possuir o período 2 \pi.
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}1 & \text { se } & -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\\\ -1 & \text { se } & \frac{\pi}{2}<x<\frac{3 \pi}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)= \begin{cases} 1,&-\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{\pi}{2},\\\\ -1,&\tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}, \end{cases}
estendida periodicamente. Vamos usar as fórmulas
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calcular a_0. Note que num período padrão de -\pi a \pi,
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{-\pi}^{-\tfrac{\pi}{2}}(-1)\,dx +\int_{-\tfrac{\pi}{2}}^{\tfrac{\pi}{2}}1\,dx +\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}(-1)\,dx =-\tfrac{\pi}{2}+\pi-\tfrac{\pi}{2}=0.
Logo
a_0=\frac{1}{\pi}\cdot 0=0.

Passo 3

Verificar a paridade de f. Para qualquer x,
f(-x)=f(x),
ou seja, f é função par. Daí
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx=0 \quad(\text{produto de par com ímpar é ímpar}).íéí

Passo 4

Calcular a_n. Como f é par,
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl[\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}1\cdot\cos(nx)\,dx +\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}(-1)\cdot\cos(nx)\,dx\Bigr].
Então
a_n=\frac{2}{\pi}\Bigl[ \Bigl(\frac{\sin(nx)}{n}\Bigr)_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} -\Bigl(\frac{\sin(nx)}{n}\Bigr)_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} \Bigr] =\frac{2}{\pi n}\bigl[\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)+\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\bigr] =\frac{4}{\pi n}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Como \sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)=0 para n par e \sin\bigl(\tfrac{(2k+1)\pi}{2}\bigr)=(-1)^k, segue
a_n= \begin{cases} \frac{4}{\pi n}(-1)^k,&n=2k+1,\\\\ 0,&n\text{ par}. \end{cases}

Passo 5

Escrever a série de Fourier. Como a_0=0 e b_n=0, sobra
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) =\sum_{k=0}^{\infty}a_{2k+1}\cos\bigl((2k+1)x\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4}{\pi(2k+1)}(-1)^k\cos\bigl((2k+1)x\bigr).

Resposta

f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}\cos\bigl((2k+1)x\bigr).

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