Mostre que se g(x) for qualquer função real, definida para todo x \in \mathbb{R}, então p(x)=\frac{g(x)+g(-x)}{2} é par, q(x)=\frac{g(x)-g(-x)}{2} é ímpar, e g(x)=p(x)+q(x).

Passo 1

O enunciado define uma função g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} e introduz as funções
p(x) \;=\; \frac{g(x)+g(-x)}{2},
q(x) \;=\; \frac{g(x)-g(-x)}{2}.
Precisamos mostrar que p é par, q é ímpar e que
g(x) \;=\; p(x) + q(x).

Passo 2

Verificamos a paridade de p calculando p(-x):
p(-x) =\frac{g(-x)+g(-(-x))}{2} =\frac{g(-x)+g(x)}{2} =\frac{g(x)+g(-x)}{2} =p(x).
Como p(-x)=p(x) para todo x, concluímos que p é par.

Passo 3

Para mostrar que q é ímpar, calculamos q(-x):
q(-x) =\frac{g(-x)-g(-(-x))}{2} =\frac{g(-x)-g(x)}{2} =-\frac{g(x)-g(-x)}{2} =-q(x).
Como q(-x)=-q(x) para todo x, q é ímpar.

Passo 4

Finalmente, somamos p(x) e q(x):
p(x)+q(x) =\frac{g(x)+g(-x)}{2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2} =\frac{2\,g(x)}{2} =g(x).

Resposta

Mostramos que p é par, q é ímpar e que g(x)=p(x)+q(x).

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