Questão 2

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Um topógrafo mede a largura de um terreno irregular em diferentes pontos ao longo de seu comprimento. 0 terreno tem 20 metros de comprimento. As larguras medidas são:
  • No início ( x=0 m ), Largura =8 m;
  • No meio (x=10 m), Largura =12 m; e
  • No final (x=20 \mathrm{~m}), Largura =6 \mathrm{~m}.
Usando a Regra do Trapézio Repetidos com n=2 subintervalos, qual a área total estimada do terreno?
a. 220 \mathrm{~m}^{2}
b. 190 \mathrm{~m}^{2}
c. 260 \mathrm{~m}^{2}
d. 200 \mathrm{~m}^{2}
e. 180 \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede para estimar a área de um terreno de comprimento 20 m, cujas larguras foram medidas em três pontos:
no início ( x=0, largura 8 m), no meio ( x=10, largura 12 m) e no final ( x=20, largura 6 m).
O método indicado é a Regra do Trapézio Repetido (Regra Composta do Trapézio) com n=2 subintervalos.

Passo 2

Para a Regra do Trapézio Repetido dividimos o intervalo [0,20] em n=2 partes iguais.
O tamanho de cada subintervalo é
h = \frac{b - a}{n} = \frac{20 - 0}{2} = 10\text{ m}.

Passo 3

A fórmula da Regra do Trapézio Composta é
\text{Área} \approx \frac{h}{2}\bigl[f(x_0) + 2\,f(x_1) + f(x_2)\bigr],Á
onde f(x_i) são as larguras nos pontos x_0=0, x_1=10 e x_2=20.

Passo 4

Substituindo os valores:
f(x_0)=8,\quad f(x_1)=12,\quad f(x_2)=6,
\text{Área} \approx \frac{10}{2}\bigl[8 + 2\cdot12 + 6\bigr] = 5 \times (8 + 24 + 6) = 5 \times 38 = 190\text{ m}^2.Á

Resposta

b. 190\text{ m}^2

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