Beleza, temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
O conteúdo aqui é “sistemas lineares” e vamos usar três técnicas clássicas:
a) eliminação de Gauss (operações elementares em linhas),
b) Regra de Cramer (determinantes),
c) inversão de matriz (A⁻¹·b).
Para cada método a gente vai explicar a teoria mínima e mostrar passo a passo.
Passo 2
Método A – Eliminação de Gauss
Teoria rápida: a ideia é zerar variáveis abaixo do “pivô” usando operações de linha (somar, multiplicar por escalar).
Quero zerar x1 em (2) e (3).
– Multiplico (2) por 5 e somo em (1):(-5x1+20x2+10x3)+(5x1+2x2+x3)=0x1+22x2+11x3=88;;Rightarrow;;2x2+x3=8
– Multiplico (2) por 2 e somo em (3): (-2x1+8x2+4x3)+(2x1+3x2+10x3)=0x1+11x2+14x3=43;;Rightarrow;;11x2+14x3=43Agora temos o sistema reduzido 2x2 + x3 = 8, 11x2 +14x3 = 43
Resolvendo: da primeira, x3=8-2x2. Substituo na segunda:11x2+14(8-2x2)=43;Rightarrow;-17x2= -69;Rightarrow;x2=6917
Então x3=8-2cdot6917=-217.
5) Por fim, volto em (1):
$$5x_1+2\Bigl(\frac{69}{17}\Bigr)+\Bigl(-\frac{2}{17}\Bigr)=-12;\Rightarrow;5x_1=-20;\Rightarrow;x_1=-4.$$
Passo 3
Método B – Regra de Cramer
Teoria: se A,x=b e det Aneq0, então
xi=det(Ai)det(A),
onde Ai é A com a i-ésima coluna trocada por b.
2) Primeiro, det A = 5&2&1 -1&4&2 2&3&10 =187
3) Depois calculo det(A1),det(A2),det(A3) substituindo colunas por (-12,20,3)^T e obtenho
$$\det(A_1)=-748,\quad