Resolver o sistema linear
l 5 x1+2 x2+x3=-12 -x1+4 x2+2 x3=20 2 x1+3 x2+10 x3=3
pelos métodos itens a, b e c do exercício 1.

Passo 1

Beleza, temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
O conteúdo aqui é “sistemas lineares” e vamos usar três técnicas clássicas:
a) eliminação de Gauss (operações elementares em linhas),
b) Regra de Cramer (determinantes),
c) inversão de matriz (A⁻¹·b).
Para cada método a gente vai explicar a teoria mínima e mostrar passo a passo.

Passo 2

Método A – Eliminação de Gauss
  1. Teoria rápida: a ideia é zerar variáveis abaixo do “pivô” usando operações de linha (somar, multiplicar por escalar).
  2. Começo:
    (1) 5x1 + 2x2 + x3 = -12
    (2) -x1 +4x2 +2x3 = 20
    (3) 2x1 +3x2 +10x3 = 3
  3. Quero zerar x1 em (2) e (3).
    – Multiplico (2) por 5 e somo em (1): (-5x1+20x2+10x3)+(5x1+2x2+x3)=0x1+22x2+11x3=88;;Rightarrow;;2x2+x3=8
    – Multiplico (2) por 2 e somo em (3):
    (-2x1+8x2+4x3)+(2x1+3x2+10x3)=0x1+11x2+14x3=43;;Rightarrow;;11x2+14x3=43Agora temos o sistema reduzido 2x2 + x3 = 8, 11x2 +14x3 = 43
  4. Resolvendo: da primeira, x3=8-2x2. Substituo na segunda: 11x2+14(8-2x2)=43;Rightarrow;-17x2= -69;Rightarrow;x2=6917
    Então x3=8-2cdot6917=-217.
    5) Por fim, volto em (1):
    $$5x_1+2\Bigl(\frac{69}{17}\Bigr)+\Bigl(-\frac{2}{17}\Bigr)=-12;\Rightarrow;5x_1=-20;\Rightarrow;x_1=-4.$$

Passo 3

Método B – Regra de Cramer
  1. Teoria: se A,x=b e det Aneq0, então
xi=det(Ai)det(A),
onde Ai é A com a i-ésima coluna trocada por b.
2) Primeiro, det A = 5&2&1 -1&4&2 2&3&10 =187
3) Depois calculo det(A1),det(A2),det(A3) substituindo colunas por (-12,20,3)^T e obtenho
$$\det(A_1)=-748,\quad
\det(A_2)=759,\quad
\det(A_3)=-22. det(A1)=-748, det(A2)=759, det(A3)=-22x_1=\frac{-748}{187}=-4,\quad
x_2=\frac{759}{187}=\frac{69}{17},\quad
x_3=\frac{-22}{187}=-\frac{2}{17}.$$

Passo 4

Método C – Matriz inversa
  1. Teoria rápida: se A é inversível, x=A^-1b. E A^-1=1det A,adj(A), onde adj é a matriz dos cofatores transposta.
  2. Encontrando cofatores e adj(A) (omito detalhes do cálculo de cada menor para não alongar demais), chega-se a
adj(A)= 34&-17&0 14&48&-11 -11&-11&22 , det A=187
  1. Então
x=A^-1b=1187, 34&-17&0 14&48&-11 -11&-11&22 -12203 =-4tfrac6917-tfrac217

Resposta

x₁ = –4, x₂ = 69/17, x₃ = –2/17.

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