Determine a solução geral das equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=x^2

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = x^2
Isso cai na matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) lineares. Para resolver, vamos precisar de:
  1. A solução geral da parte homogênea (resolvendo a equação característica).
  2. Uma solução particular para o termo não homogêneo , usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução da parte homogênea:
y'' - 5y' + 6y = 0
– Montamos a equação característica trocando r^2 - 5r + 6 = 0 por yh(x) = C1 e^2x + C2 e^3x, :
– Resolvendo , vem e .
Logo a solução homogênea é
onde e são constantes.

Passo 3

Agora a parte não homogênea: RHS é yp(x) = A x^2 + B x + C , um polinômio de grau 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, a gente chuta uma solução particular também polinomial do mesmo grau:
yp'(x) = 2Ax + B, yp''(x) = 2A
Vamos derivar:
2A -5(2Ax+B) +6(Ax^2+Bx+C) = x^2
Substituindo na EDO original 2A -10Ax -5B +6Ax^2 +6Bx +6C =6A,x^2 +(-10A+6B),x +l(2A -5B+6Cr) :
Agora expandimos e agrupamos em potências de :
Isso tem que bater com . Então igualamos coeficientes:

Passo 4

Basta resolver o sistema:
  1. yp(x) = 16x^2 + 518x + 19108 .



Então

Resposta

A solução geral da equação
y'' - 5y' + 6y = x^2
é
boxedy(x) = C1 e^2x + C2 e^3x ;+; 16x^2 + 518x + 19108,
onde e são constantes arbitrárias.

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