Determine a solução geral das equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Isso cai na matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) lineares. Para resolver, vamos precisar de:
- A solução geral da parte homogênea (resolvendo a equação característica).
- Uma solução particular para o termo não homogêneo
, usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução da parte homogênea:
– Montamos a equação característica trocando
por
:
– Resolvendo
, vem
e
.
Logo a solução homogênea é
Logo a solução homogênea é
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora a parte não homogênea: RHS é
, um polinômio de grau 2. Pelo método dos coeficientes indeterminados, a gente chuta uma solução particular também polinomial do mesmo grau:
Vamos derivar:
Substituindo na EDO original
:
Agora expandimos e agrupamos em potências de
:
Isso tem que bater com
. Então igualamos coeficientes:
Passo 4
Basta resolver o sistema:
-
. -
-
Então
Resposta
A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes arbitrárias.