Determine a solução do sistema de equações lineares abaixo pelos métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel adotando varepsilon=0,0001 :
l 10 x+y+z=11,1 2 x-10 y+z=-16,2 x+2 y+10 z=16,6 , l x y z ^(0)=l 1 2 1

Passo 1

Temos o sistema linear
10x+y+z=11,1, 2x-10y+z=-16,2, x+2y+10z=16,6,
com chute inicial
x,y,z^(0)=1,2,1
e tolerância varepsilon=0,0001.
O conteúdo aqui é a aplicação dos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss–Seidel para sistemas lineares. Antes de tudo, notamos que o sistema é estritamente diagonalmente dominante (por linha), logo ambos os métodos convergem.

Passo 2

Isolamos cada variável para obter as fórmulas de ponto-fixo. Das equações:
x=11,1 - y - z10, y=2x + z +16,210, z=16,6 - x -2y10
Dessa forma, o método de Jacobi usa
x^(k+1)=11,1 - y^(k) - z^(k)10, y^(k+1)=2,x^(k) + z^(k) +16,210, z^(k+1)=16,6 - x^(k) -2,y^(k)10
No Gauss– Seidel, assim que calculamos x^(k+1) já o usamos em y^(k+1), e ambos usamos em z^(k+1):
x^(k+1)=11,1 - y^(k) - z^(k)10, y^(k+1)=2,x^(k+1) + z^(k) +16,210, z^(k+1)=16,6 - x^(k+1) -2,y^(k+1)10

Passo 3

Aplicando Jacobi e monitorando De<a^(k)=max|x^(k)-x^(k-1)|,|y^(k)-y^(k-1)|,|z^(k)-z^(k-1)|, obtemos:
c|ccc|c k & x^(k) & y^(k) & z^(k) & De<a^(k)hline 0 & 1,00000 & 2,00000 & 1,00000 & - 1 & 0,81000 & 1,92000 & 1,16000 & 0,19000 2 & 0,80200 & 1,90000 & 1,19500 & 0,03500 3 & 0,80050 & 1,89990 & 1,19980 & 0,00480 4 & 0,80003 & 1,90008 & 1,19997 & 0,00047 5 & 0,799995 & 1,900003 & 1,199981 & 0,000077
Como De<a^(5)<0,0001, a iteração para em k=5 com a solução aproximada
(x,y,z)approx(0,799995,;1,900003,;1,199981)

Passo 4

No Gauss–Seidel a evolução é mais rápida. Calculando até De<a^(k)<0,0001:
c|ccc|c k & x^(k) & y^(k) & z^(k) & De<a^(k)hline 0 & 1,0000000 & 2,0000000 & 1,0000000 & - 1 & 0,8100000 & 1,9020000 & 1,1986000 & 0,1986000 2 & 0,7999400 & 1,8998480 & 1,1999364 & 0,0100600 3 & 0,8000216 & 1,8999979 & 1,1999983 & 0,00014995 4 & 0,8000004 & 1,8999999 & 1,19999998 & 0,00002118
Aqui De<a^(4)<0,0001, então paramos em k=4 com
(x,y,z)approx(0,8000004,;1,8999999,;1,19999998)

Resposta

Jacobi convergiu em 5 iterações a
(x,y,z)approx(0,799995,;1,900003,;1,199981)
Gauss–Seidel convergiu em 4 iterações a
(x,y,z)approx(0,8000004,;1,8999999,;1,19999998)

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