01- Achar numèricamente a integral \int_{0}^{4} x^{2} d x aplicando
a) a regra dos trapézios
b) a regra de Simpson ( parabólica)
Obter em cada caso o êrro relativo absoluto.
Adotar \mathrm{n}=10

Passo 1

O enunciado pede para aproximar numericamente
\int_{0}^{4} x^{2}\,dx
usando a regra composta dos trapézios e a regra composta de Simpson (parabólica) com n=10 subintervalos, e depois calcular o erro relativo absoluto em cada caso. O conteúdo é de métodos numéricos para integrais definidas: teremos que dividir o intervalo em n partes, avaliar f(x)=x^2 nos nós, aplicar as fórmulas compostas e comparar com o valor exato.

Passo 2

Antes de tudo, encontramos o valor exato da integral por antiderivação:
\int_{0}^{4} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{4^{3}}{3} = \frac{64}{3} \approx 21{,}3333333.

Passo 3

Regra composta dos trapézios com n=10:
O passo é h = \frac{4-0}{10} = 0{,}4. Os nós são x_i = 0 + i\,h, i=0,1,\dots,10, e f(x_i)=x_i^2. A fórmula composta é
T = h\Bigl(\tfrac12 f(x_{0}) + f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots + f(x_{9}) + \tfrac12 f(x_{10})\Bigr).
Calculando os f(x_i) e somando, obtemos
T = 0{,}4\bigl(\tfrac12\cdot0 + (0{,}16+0{,}64+1{,}44+2{,}56+4{,}00+5{,}76+7{,}84+10{,}24+12{,}96) + \tfrac12\cdot16\bigr) = 21{,}44.
O erro relativo absoluto é
\frac{\bigl|T - \frac{64}{3}\bigr|}{\bigl|\frac{64}{3}\bigr|} = \frac{|21{,}44 - 21{,}3333333|}{21{,}3333333} \approx 0{,}0050\quad(0{,}50\%).

Passo 4

Regra composta de Simpson com n=10 (parabólica):
Mantendo h=0{,}4, usamos
S = \frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0}) + 4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) +2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,10}f(x_{i}) + f(x_{10})\Bigr).í
Substituindo f(x_i)=x_i^2 e somando, encontra-se
S = \frac{0{,}4}{3}\bigl(0 + 4\cdot26{,}4 + 2\cdot19{,}2 +16\bigr) = \frac{0{,}4}{3}\cdot480 = 21{,}3333333,
que coincide exatamente com \tfrac{64}{3}. Portanto o erro relativo absoluto é zero.

Resposta

Trapézios: T = 21{,}44, erro relativo \approx 0{,}0050 (0,50%)
Simpson: S = 21{,}3333333, erro relativo = 0

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