O valor de \pi pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: Aplique o método de Newton-Raphson com x_{0}=3 e precisão \epsilon de 10^{-2}, ou seja, \left|x_{n}-x_{n-1}\right|< 10^{-2}. Para os cálculos, utilize uma precisão de 4 casas decimais com arredondamento. Compare os resultados obtidos.
\cos (x)+1=0

Passo 1

O enunciado pede para estimar \pi resolvendo
\cos(x) + 1 = 0
usando o método de Newton–Raphson com chute inicial x_{0}=3{,}0000, critério de parada \bigl|x_{n}-x_{n-1}\bigr|<10^{-2} e arredondando todos os cálculos a 4 casas decimais.

Passo 2

Definimos
f(x)=\cos(x)+1, \quad f'(x)=-\sin(x).
A fórmula de Newton fica
x_{n+1} = x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} = x_{n} + \frac{\cos(x_{n})+1}{\sin(x_{n})}.

Passo 3

Iteração n=0\to1: \;x_{0}=3{,}0000
\cos(3{,}0000)\approx -0{,}9900, \quad \sin(3{,}0000)\approx 0{,}1411
x_{1} =3{,}0000 + \frac{-0{,}9900 +1}{0{,}1411} =3{,}0000 + \frac{0{,}0100}{0{,}1411} \approx 3{,}0709

Passo 4

Iteração n=1\to2: \;x_{1}=3{,}0709
\cos(3{,}0709)\approx -0{,}9975, \quad \sin(3{,}0709)\approx 0{,}0707
x_{2} =3{,}0709 + \frac{-0{,}9975 +1}{0{,}0707} =3{,}0709 + \frac{0{,}0025}{0{,}0707} \approx 3{,}1063

Passo 5

Iteração n=2\to3: \;x_{2}=3{,}1063
\cos(3{,}1063)\approx -0{,}9994, \quad \sin(3{,}1063)\approx 0{,}0353
x_{3} =3{,}1063 + \frac{-0{,}9994 +1}{0{,}0353} =3{,}1063 + \frac{0{,}0006}{0{,}0353} \approx 3{,}1233

Passo 6

Iteração n=3\to4: \;x_{3}=3{,}1233
\cos(3{,}1233)\approx -0{,}9998, \quad \sin(3{,}1233)\approx 0{,}0183
x_{4} =3{,}1233 + \frac{-0{,}9998 +1}{0{,}0183} =3{,}1233 + \frac{0{,}0002}{0{,}0183} \approx 3{,}1342

Passo 7

Iteração n=4\to5: \;x_{4}=3{,}1342
\cos(3{,}1342)\approx -1{,}0000, \quad \sin(3{,}1342)\approx 0{,}0074
x_{5} =3{,}1342 + \frac{-1{,}0000 +1}{0{,}0074} =3{,}1342 + 0{,}0000 =3{,}1342
Como \bigl|x_{5}-x_{4}\bigr|=0{,}0000<10^{-2},
paramos aqui.

Resposta

A estimativa obtida é
x \approx 3{,}1342.
Comparando com o valor real \pi\approx3{,}1416, o erro é
\bigl|\pi - 3{,}1342\bigr|\approx0{,}0074<10^{-2}.

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