Determine a solução do sistema utilizando o método de Gauss-Jordan:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente resolver o sistema
usando o método de Gauss–Jordan, que é basicamente escrever a matriz aumentada e, com operações elementares de linha (trocar linha, multiplicar linha por não-zero, somar múltiplos de uma linha em outra), levar essa matriz à forma reduzida (RREF). A partir daí a gente já lê direto
,
e
.
Passo 2
Primeiro, monta a matriz aumentada
[ccc|c 2 & 3 & 1 & 1 4 & 7 & 3 & 3 6 &18 & 5 & 8 ] :
Aqui cada linha corresponde a uma equação, as primeiras três colunas são os coeficientes de
e a última coluna é o termo independente.
Passo 3
Queremos pivotar em
R1 tfrac12,R1 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & tfrac32 & tfrac12 & tfrac12 4 & 7 & 3 & 3 6 &18 & 5 & 8 ] . Para ficar um “1” ali, dividimos a linha 1 por 2:
Teoria: a operação “multiplicar uma linha por um escalar não-zero” mantém o sistema equivalente.
Passo 4
Agora zera abaixo de
R2: [4-4cdot1,;7-4cdottfrac32,;3-4cdottfrac12 mid 3-4cdottfrac12] = [0,1,1 mid 1], R3: [6-6cdot1,;18-6cdottfrac32,;5-6cdottfrac12 mid 8-6cdottfrac12] = [0,9,2 mid 5] .
-
[ccc|c 1 & tfrac32 & tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & 1 & 1 0 & 9 & 2 & 5 ] -
Fica
Passo 5
Agora pivotamos em
R1 = [1,;0,;tfrac12-tfrac32cdot1 mid tfrac12-tfrac32cdot1] = [1,0,-1 mid -1], (já está 1). Vamos zerar embaixo e acima desse “1”:
- Eliminar em cima:
.R3 = [0,;0,;2-9cdot1 mid 5-9cdot1] = [0,0,-7 mid -4] - Eliminar embaixo:
.[ccc|c 1 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -7 & -4 ]
Cálculo rápido:
Matriz vira
Passo 6
Pivot em
R3 -tfrac17,R3 ;Longrightarrow; [0,0,1 mid tfrac47], . Pra ficar 1, divide a linha 3 por
[ccc|c 1 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & tfrac47 ] :
então
Passo 7
Finalmente, zera todo mundo que não é pivô na coluna
R1 = [1,0,0 mid -1 + tfrac47] = [1,0,0 mid -tfrac37], R2 = [0,1,0 mid 1 - tfrac47] = [0,1,0 mid tfrac37] :
-
[ccc|c 1 & 0 & 0 & -tfrac37 0 & 1 & 0 & tfrac37 0 & 0 & 1 & tfrac47 ] -
Isso dá
Ficamos com a forma totalmente reduzida