Determine a solução do sistema utilizando o método de Gauss-Jordan:
l 2 x+3 y+z=1 4 x+7 y+3 z=3 6 x+18 y+5 z=8

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente resolver o sistema
2x + 3y + z = 1, 4x + 7y + 3z = 3, 6x +18y + 5z = 8
usando o método de Gauss–Jordan, que é basicamente escrever a matriz aumentada e, com operações elementares de linha (trocar linha, multiplicar linha por não-zero, somar múltiplos de uma linha em outra), levar essa matriz à forma reduzida (RREF). A partir daí a gente já lê direto , e .

Passo 2

Primeiro, monta a matriz aumentada [ccc|c 2 & 3 & 1 & 1 4 & 7 & 3 & 3 6 &18 & 5 & 8 ] :
Aqui cada linha corresponde a uma equação, as primeiras três colunas são os coeficientes de e a última coluna é o termo independente.

Passo 3

Queremos pivotar em R1 tfrac12,R1 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & tfrac32 & tfrac12 & tfrac12 4 & 7 & 3 & 3 6 &18 & 5 & 8 ] . Para ficar um “1” ali, dividimos a linha 1 por 2:
Teoria: a operação “multiplicar uma linha por um escalar não-zero” mantém o sistema equivalente.

Passo 4

Agora zera abaixo de R2: [4-4cdot1,;7-4cdottfrac32,;3-4cdottfrac12 mid 3-4cdottfrac12] = [0,1,1 mid 1], R3: [6-6cdot1,;18-6cdottfrac32,;5-6cdottfrac12 mid 8-6cdottfrac12] = [0,9,2 mid 5] .
  • [ccc|c 1 & tfrac32 & tfrac12 & tfrac12 0 & 1 & 1 & 1 0 & 9 & 2 & 5 ]
Fica

Passo 5

Agora pivotamos em R1 = [1,;0,;tfrac12-tfrac32cdot1 mid tfrac12-tfrac32cdot1] = [1,0,-1 mid -1], (já está 1). Vamos zerar embaixo e acima desse “1”:
  • Eliminar em cima: R3 = [0,;0,;2-9cdot1 mid 5-9cdot1] = [0,0,-7 mid -4] .
  • Eliminar embaixo: [ccc|c 1 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -7 & -4 ] .
Cálculo rápido:
Matriz vira

Passo 6

Pivot em R3 -tfrac17,R3 ;Longrightarrow; [0,0,1 mid tfrac47], . Pra ficar 1, divide a linha 3 por [ccc|c 1 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & tfrac47 ] :
então

Passo 7

Finalmente, zera todo mundo que não é pivô na coluna R1 = [1,0,0 mid -1 + tfrac47] = [1,0,0 mid -tfrac37], R2 = [0,1,0 mid 1 - tfrac47] = [0,1,0 mid tfrac37] :
  • [ccc|c 1 & 0 & 0 & -tfrac37 0 & 1 & 0 & tfrac37 0 & 0 & 1 & tfrac47 ]
Isso dá
Ficamos com a forma totalmente reduzida

Resposta

(x,y,z) = l(-tfrac37,;tfrac37,;tfrac47r)

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