Verifique se a fatoração de Cholesky é possível para:
A=[ccc 4 & 2 & 6 2 & 5 & 4 6 & 4 & 20 ]

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente ver se dá pra fazer a fatoração de Cholesky na matriz
A = 4 & 2 & 6 2 & 5 & 4 6 & 4 & 20
Isso cai dentro do conteúdo de Matrizes e Decomposições: a fatoração de Cholesky só existe se a matriz for simétrica (ok, A é) e positiva definida. Então o que vamos precisar é checar a positividade dos determinantes dos menores principais (isto é, dos cantos superiores 1×1, 2×2 e 3×3).

Passo 2

Primeiro lembre que “positiva definida” significa, entre outras coisas, que todos os menores principais têm determinante > 0.
Menor principal 1×1 = o próprio A₁₁ = 4.
Logo
detl([,4,]r) = 4 > 0

Passo 3

Agora o menor principal 2×2, que é a submatriz formada pelos dois primeiros índices:
4 & 2 2 & 5
O determinante dela é
det = 4cdot5 - 2cdot2 = 20 - 4 = 16 > 0

Passo 4

Por fim, o determinante da matriz inteira 3×3. Vamos calcular por regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Usando cofatores na primeira linha:
det(A) =4cdotl(5cdot20 - 4cdot4r) -2cdotl(2cdot20 - 4cdot6r) +6cdotl(2cdot4 - 5cdot6r)
Calculemos cada parte:
5·20 − 4·4 = 100 − 16 = 84
2·20 − 4·6 = 40 − 24 = 16
2·4 − 5·6 = 8 − 30 = −22
Substituindo:
det(A) = 4cdot84 ;-; 2cdot16 ;+; 6cdot(-22) =336 - 32 - 132 = 172 > 0

Resposta

Como todos os menores principais têm determinante positivo, A é positiva definida e, portanto, a fatoração de Cholesky é possível.

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