Resolva
utilizando a fatoração de Cholesky, onde:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema $ A x = b $ usando a fatoração de Cholesky. A matriz $ A $ que temos é simétrica e positiva definida, o que é perfeito para aplicar a fatoração de Cholesky. Essa técnica de fatoração nos ajuda a decompor a matriz $ A $ em duas matrizes triangulares, facilitando a resolução do sistema. Vamos precisar calcular essas matrizes triangulares e depois resolver duas equações mais simples para encontrar o vetor $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a fatoração de Cholesky da matriz $ A $. Isso significa que vamos encontrar uma matriz triangular inferior $ L $ tal que $ A = L L^T $, onde $ L^T $ é a transposta de $ L $.
A matriz $ A $ é:
Vamos calcular os elementos de $ L $:
- $ L_{11} = \sqrt{10} $
- $ L_{21} = \frac{1}{L_{11}} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
- $ L_{31} = \frac{1}{\sqrt{10}} $
- $ L_{22} = \sqrt{10 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2} = \sqrt{10 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{99}{10}} $
- $ L_{32} = \frac{1 - L_{21} \cdot L_{31}}{L_{22}} = \frac{1 - \frac{1}{10}}{\sqrt{\frac{99}{10}}} = \frac{\frac{9}{10}}{\sqrt{\frac{99}{10}}} = \frac{9}{\sqrt{990}} $
- $ L_{33} = \sqrt{10 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{9}{\sqrt{990}}\right)^2} = \sqrt{10 - \frac{1}{10} - \frac{81}{990}} $
Após calcular todos os elementos, obtemos a matriz $ L $.
Passo 3
Agora que temos $ L $, vamos resolver $ L y = b $. Isso é chamado de substituição direta. O vetor $ b $ é:
Resolvemos para $ y $:
- $ y_1 = \frac{12}{L_{11}} $
- $ y_2 = \frac{12 - L_{21} y_1}{L_{22}} $
- $ y_3 = \frac{12 - L_{31} y_1 - L_{32} y_2}{L_{33}} $
Calculando esses valores, encontramos o vetor $ y $.
Passo 4
Com o vetor $ y $ encontrado, agora resolvemos $ L^T x = y $. Isso é substituição retroativa. A matriz $ L^T $ é a transposta de $ L $, então é uma matriz triangular superior.
Resolvemos para $ x $:
- $ x_3 = \frac{y_3}{L_{33}} $
- $ x_2 = \frac{y_2 - L_{32} x_3}{L_{22}} $
- $ x_1 = \frac{y_1 - L_{21} x_2 - L_{31} x_3}{L_{11}} $
Calculando esses valores, encontramos o vetor $ x $.
Resposta
Após seguir todos os passos, o vetor solução é: