que minimize o erro quadrático total entre os valores \hat f(x_i) e os y_i=f(x_i) desses pontos. Os dados relevantes (lista de pontos e número de pontos n) estão todos acima; não há outra informação adicional.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas): para ajustar \hat f(x)=ax^{2}+bx+c por mínimos quadrados, construímos o sistema normal obtido impondo que as somas dos resíduos ponderadas pelas colunas do modelo sejam zero. As equações normais, quando as colunas do modelo são x^{2},x,1, ficam (em forma matricial)
\begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{3} & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{3} & \sum x^{2} & \sum x\\[4pt] \sum x^{2} & \sum x & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum x^{2}y\\[4pt] \sum x y\\[4pt] \sum y \end{pmatrix}.
Explicando as somas: \sum significa somatório sobre os n pontos; por exemplo \sum x^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}, \sum x^{2}y=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}y_{i}, etc. Agora vamos calcular todas essas somas a partir da tabela de pontos.]
Passo 3
Calcular todas as potências e produtos necessários (peguei os x e y diretamente da tabela dada no enunciado):
Montando uma tabela mental (cada linha corresponde a um ponto):
Para x=-2,\;y=19{,}01: x^{2}=4,\;x^{3}=-8,\;x^{4}=16,\;xy=-38{,}02,\;x^{2}y=76{,}04.
Para x=-1,\;y=3{,}99: x^{2}=1,\;x^{3}=-1,\;x^{4}=1,\;xy=-3{,}99,\;x^{2}y=3{,}99.
Para x=0,\;y=-1{,}00: x^{2}=0,\;x^{3}=0,\;x^{4}=0,\;xy=0{,}00,\;x^{2}y=0{,}00.
Para x=1,\;y=4{,}01: x^{2}=1,\;x^{3}=1,\;x^{4}=1,\;xy=4{,}01,\;x^{2}y=4{,}01.
Para x=2,\;y=18{,}99: x^{2}=4,\;x^{3}=8,\;x^{4}=16,\;xy=37{,}98,\;x^{2}y=75{,}96.
Para x=3,\;y=45{,}00: x^{2}=9,\;x^{3}=27,\;x^{4}=81,\;xy=135{,}00,\;x^{2}y=405{,}00.
Agora somamos coluna a coluna (vou apresentar os resultados com 4 casas decimais):
Resolver o sistema por eliminação (mostro etapas importantes, com 4 casas decimais quando apresentar números):
Eliminação da primeira coluna:
Multiplicador para zerar a na segunda equação: m_{21}=\dfrac{27}{115}=0{,}2348 (arredondado a 4 casas). Subtraindo m_{21} vezes a primeira equação da segunda obtemos (valores exibidos com 4 casas):
\text{(Eq2)}' :\quad 0\cdot a + 12{,}6609\,b -1{,}4609\,c = 2{,}3278.
Multiplicador para zerar a na terceira equação: m_{31}=\dfrac{19}{115}=0{,}1652. Subtraindo m_{31} vezes a primeira equação da terceira obtemos:
\text{(Eq3)}' :\quad 0\cdot a -1{,}4609\,b +2{,}8609\,c = -3{,}3478.
(Os coeficientes acima vêm da operação direta com as frações correspondentes; mostro os valores arredondados a 4 casas decimais.)
Passo 6
Agora resolvemos o sistema 2×2 em b,c\):
\[\begin{cases} 12{,}6609\,b -1{,}4609\,c = 2{,}3278,\\[4pt] -1{,}4609\,b +2{,}8609\,c = -3{,}3478. \end{cases}
Usando regra de Cramer (ou eliminação) para este 2×2, calculamos o determinante
D = 12{,}6609\cdot 2{,}8609 - (-1{,}4609)^{2}\approx 34{,}0870.
O numerador para b\] é
\[N_{b} = 2{,}3278\cdot 2{,}8609 - (-1{,}4609)\cdot(-3{,}3478)\approx 0{,}2339,\]
portanto
\[b=\dfrac{N_{b}}{D}\approx 0{,}0518928571\ldots\]
Arredondando a 4 casas decimais: \(b\approx 0{,}0519.
Arredondando a 4 casas decimais: c\approx -1{,}1437.
(Expliquei os passos e mostrei os resultados intermediários; os valores decimais repetem padrões reconhecíveis na expansão, e aqui estou reportando os coeficientes arredondados conforme pedido.)]
Passo 7
Com b e c encontrados, voltamos à primeira equação para obter a. Usando
115a+27b+19c=565{,}00,
substituímos b\approx 0{,}0518928571 e c\approx -1{,}1437142857 e resolvemos: