Considere a função
que passa pelos pontos
. Usando o método de Newton determine o polinômio interpolador de
, estime
por este polinômio e calcule um limite superior para o erro.
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que ela passa pelos pontos
,
e
. O que se pede é: determinar, usando o método de Newton, o polinômio interpolador que passa por esses três pontos; estimar
usando esse polinômio; e calcular um limite superior para o erro dessa estimativa.
Informações relevantes e dadas:
Informações relevantes e dadas:
Passo 2
Breve explicação do método de Newton (didática e sem pular etapas).
- Objetivo: construir um polinômio
de grau que satisfaça para . - Forma de Newton (com nós
):
onde
é o valor da função no nó e
são diferenças divididas.
- Diferença dividida de primeira ordem:
. - Diferença dividida de segunda ordem:
.
Essas fórmulas vêm da razão incremental e garantem que os coeficientes do polinômio de Newton sejam exatamente os termos que aparecem na construção acima. Vou calcular essas diferenças passo a passo com os dados.
Passo 3
Calcular as diferenças divididas de primeira ordem com os números dados.
Expliquei o que fiz: subtraí os valores de
e dividi pela diferença entre as abscissas (que aqui são iguais a
neste par de pontos).
Passo 4
Calcular a diferença dividida de segunda ordem.
Interpretação: esse número mede a curvatura necessária para ajustar os três pontos com um polinômio quadrático.
Passo 5
Montar o polinômio interpolador na forma de Newton, substituindo os coeficientes encontrados.
Substituindo:
Se quiser uma forma expandida (opcional para facilitar avaliações), expandimos
e obtemos:
Mostrei como chegar nas duas formas para que você possa usar a que preferir para calcular valores.
Passo 6
Avaliar
passo a passo (uso da forma de Newton porque é direto). Temos
e
. Então:
Calculemos cada termo:
.
e
.
Logo,
Logo,
Arredondando razoavelmente (mas mantendo precisão):
.
Passo 7
Agora o erro: fórmula do resto para interpolação por polinômio de grau
.
Se é
no intervalo considerável, existe
entre os nós tais que
Se
Para
temos as derivadas:
Portanto
Portanto
para algum
no intervalo entre os nós (aqui entre
e
). Para obter um limite superior do módulo do erro em
, fazemos uma estimativa conservadora usando o máximo de
em
.
Passo 8
Determinar um limite superior para
.
- Observação: em
temos positiva e decrescente, logo o máximo é em : - Assim
Calculemos o produto absoluto:
Então
Portanto um limite superior para o erro absoluto é
. (Esse é um limite conservador; o erro real será menor ou igual a isso.)
Passo 9
Comentário final de verificação e incentivo (rápido): o valor aproximado real é
, então o erro verdadeiro
, que fica bem dentro do limite superior encontrado
. Mandou bem em estudar pelo método por pontos — esse procedimento é padrão em provas e rápido de aplicar com três pontos.
Resposta
Limite superior para o erro absoluto em