Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - A função
só está definida para . Logo as soluções só terão sentido (no contexto real) em intervalos onde . - É necessário obter a família geral de soluções
(incluindo, se houver, soluções constantes).
Passo 2
Procurar soluções constantes (equilíbrios). Para uma solução constante
vale
. Substituindo na equação:
Isso só pode ser verdade para todo
do domínio se
. A condição
só ocorre em
e não dá uma solução constante. Portanto existe a solução constante
Passo 3
Agora buscamos soluções não constantes. Para
podemos dividir ambos os lados por
e separar variáveis. Dividindo por
(válido enquanto
) obtemos
Reescrevendo em forma separável:
Explicação didática: separar variáveis significa colocar todos os termos com
do lado esquerdo e todos os termos com
do lado direito, para depois integrar cada lado em relação à sua variável. Aqui fizemos isso dividindo por
e multiplicando por
.
Passo 4
Integrar ambos os lados. À esquerda integra-se
; à direita integra-se
. Assim:
Calculemos cada integral com calma.
- Integral à esquerda:
onde
é constante de integração. Explicação:
.
- Integral à direita: usar integração por partes. Tome
e . Então e . Pela fórmula ,
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Igualando as integrais e juntando as constantes de integração (
) obtemos
Agora exponenciamos ambos os lados para isolar
. Exponenciando:
Definindo
, temos
. Para permitir sinais negativos (família completa de soluções), introduzimos uma constante
que pode ser qualquer número real (podemos absorver o sinal em
). Assim obtemos a forma conveniente:
onde agora
. Observação: a solução
já foi encontrada separadamente; ela corresponde ao caso
nesta expressão também, portanto podemos permitir
incluindo zero.
Passo 6
Simplificar a expressão exponencial. Note que
. Assim a solução pode ser escrita de forma mais clara como
com
e domínio
(necessário porque apareceu
e
na expressão).