Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
\frac{d y}{d x}=y \ln x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y\ln x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A equação relaciona a derivada de y com y e \ln x.
  • A função \ln x só está definida para x>0. Logo as soluções só terão sentido (no contexto real) em intervalos onde x>0.
  • É necessário obter a família geral de soluções y(x) (incluindo, se houver, soluções constantes).

Passo 2

Procurar soluções constantes (equilíbrios). Para uma solução constante y(x)=y_0 vale \dfrac{dy}{dx}=0. Substituindo na equação:
0 = y_0 \ln x.
Isso só pode ser verdade para todo x do domínio se y_0=0. A condição \ln x=0 só ocorre em x=1 e não dá uma solução constante. Portanto existe a solução constante
y(x)\equiv 0.

Passo 3

Agora buscamos soluções não constantes. Para y\neq 0 podemos dividir ambos os lados por y e separar variáveis. Dividindo por y (válido enquanto y\neq0) obtemos
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}=\ln x.
Reescrevendo em forma separável:
\frac{dy}{y}=\ln x\,dx.
Explicação didática: separar variáveis significa colocar todos os termos com y do lado esquerdo e todos os termos com x do lado direito, para depois integrar cada lado em relação à sua variável. Aqui fizemos isso dividindo por y e multiplicando por dx.

Passo 4

Integrar ambos os lados. À esquerda integra-se \dfrac{1}{y}\,dy; à direita integra-se \ln x\,dx. Assim:
\int \frac{dy}{y} = \int \ln x\,dx.
Calculemos cada integral com calma.
  • Integral à esquerda:
\int \frac{dy}{y}=\ln|y| + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Explicação: \dfrac{d}{dy}\ln|y|=1/y.
  • Integral à direita: usar integração por partes. Tome u=\ln x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Pela fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes de integração ( C=C_2-C_1) obtemos
\ln|y| = x\ln x - x + C.
Agora exponenciamos ambos os lados para isolar y. Exponenciando:
|y| = e^{C} e^{x\ln x - x}.
Definindo A=e^{C}>0, temos |y|=A e^{x\ln x - x}. Para permitir sinais negativos (família completa de soluções), introduzimos uma constante C que pode ser qualquer número real (podemos absorver o sinal em C). Assim obtemos a forma conveniente:
y = C\,e^{x\ln x - x},
onde agora C\in\mathbb{R}. Observação: a solução y\equiv 0 já foi encontrada separadamente; ela corresponde ao caso C=0 nesta expressão também, portanto podemos permitir C\in\mathbb{R} incluindo zero.

Passo 6

Simplificar a expressão exponencial. Note que e^{x\ln x}=(e^{\ln x})^{x}=x^{x}. Assim a solução pode ser escrita de forma mais clara como
y(x)=C\,x^{x}e^{-x},
com C\in\mathbb{R} e domínio x>0 (necessário porque apareceu \ln x e x^{x} na expressão).

Resposta

y(x)=C\,x^{x}e^{-x},\;C\in\mathbb{R},\;x>0

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