Usando a segunda regra composta de Simpson ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro. I=\int_{1}^{10}\left(x^{2}+9 x+12\right) d x
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
Calcular a integral \displaystyle I=\int_{1}^{10}\left(x^{2}+9x+12\right)\,dx na forma aproximada usando a “segunda regra composta de Simpson” com h=1.
Calcular o valor exato da integral.
Determinar o erro entre o valor aproximado e o exato.
As informações dadas:
Integrando: f(x)=x^{2}+9x+12.
Intervalo: [1,10].
Passo pedido para a regra composta: h=1.
Passo 2
Interpretação da “segunda regra composta de Simpson” e escolha do método (sem pânico, eu explico):
Com h=1 e intervalo [1,10] temos comprimento b-a=9. Assim o número de subintervalos é n=\dfrac{b-a}{h}=\dfrac{9}{1}=9.
A regra de Simpson “clássica” composta (Simpson 1/3) exige n par; já a chamada “segunda regra de Simpson” normalmente se refere à regra de Simpson 3/8 (Simpson 3/8) composta, que exige n múltiplo de 3. Aqui n=9 é múltiplo de 3, então usaremos a regra composta de Simpson 3/8 com h=1.
Agora uma breve aula sobre a fórmula que vamos usar:
Se a=x_0<x_1<\dots<x_n=b com x_i=a+ih e n múltiplo de 3, a regra composta de Simpson 3/8 é
h é o comprimento de cada subintervalo: h=\dfrac{b-a}{n}.
f(x_0) e f(x_n) são os valores nos extremos.
Para índices interiores, os pontos cujo índice é múltiplo de 3 (ou seja i=3,6,\dots) têm coeficiente 2, e os outros interiores têm coeficiente 3. Essa é a repetição do padrão da regra 3/8 em blocos de 3 subintervalos.
Erro = valor exato - valor aproximado =886{,}5-886{,}5=0.
Comentário didático: a regra de Simpson 3/8 é exata para polinômios de grau até 3 (ou seja, integra cubos e polinômios de grau menor sem erro). Aqui o integrando é um polinômio de grau 2, por isso a aproximação coincide exatamente com o valor exato e o erro é zero. Fica a dica para a prova: quando a função é polinomial de grau baixo, métodos de quadratura como Simpson podem dar resultado exato — vale checar o grau.