Usando a segunda regra composta de Simpson ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{10}\left(x^{2}+9 x+12\right) d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Calcular a integral \displaystyle I=\int_{1}^{10}\left(x^{2}+9x+12\right)\,dx na forma aproximada usando a “segunda regra composta de Simpson” com h=1.
  • Calcular o valor exato da integral.
  • Determinar o erro entre o valor aproximado e o exato.
As informações dadas:
  • Integrando: f(x)=x^{2}+9x+12.
  • Intervalo: [1,10].
  • Passo pedido para a regra composta: h=1.

Passo 2

Interpretação da “segunda regra composta de Simpson” e escolha do método (sem pânico, eu explico):
  • Com h=1 e intervalo [1,10] temos comprimento b-a=9. Assim o número de subintervalos é n=\dfrac{b-a}{h}=\dfrac{9}{1}=9.
  • A regra de Simpson “clássica” composta (Simpson 1/3) exige n par; já a chamada “segunda regra de Simpson” normalmente se refere à regra de Simpson 3/8 (Simpson 3/8) composta, que exige n múltiplo de 3. Aqui n=9 é múltiplo de 3, então usaremos a regra composta de Simpson 3/8 com h=1.
Agora uma breve aula sobre a fórmula que vamos usar:
  • Se a=x_0<x_1<\dots<x_n=b com x_i=a+ih e n múltiplo de 3, a regra composta de Simpson 3/8 é
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\left[f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod{3}}}^{n-3} f(x_i)\right].
Explicando as partes:
  • h é o comprimento de cada subintervalo: h=\dfrac{b-a}{n}.
  • f(x_0) e f(x_n) são os valores nos extremos.
  • Para índices interiores, os pontos cujo índice é múltiplo de 3 (ou seja i=3,6,\dots) têm coeficiente 2, e os outros interiores têm coeficiente 3. Essa é a repetição do padrão da regra 3/8 em blocos de 3 subintervalos.

Passo 3

Determinar os nós x_i e calcular f(x_i).
  • Como h=1 e x_0=1, os nós são
x_i = 1+i,\qquad i=0,1,\dots,9,
ou seja \;x_0=1,\;x_1=2,\;\dots,\;x_9=10.
  • Calcular f(x)=x^{2}+9x+12 em cada nó:
\begin{aligned} f(x_0)=f(1)&=1^{2}+9\cdot1+12=22,\\\ f(x_1)=f(2)&=2^{2}+9\cdot2+12=34,\\\ f(x_2)=f(3)&=3^{2}+9\cdot3+12=48,\\\ f(x_3)=f(4)&=16+36+12=64,\\\ f(x_4)=f(5)&=25+45+12=82,\\\ f(x_5)=f(6)&=36+54+12=102,\\\ f(x_6)=f(7)&=49+63+12=124,\\\ f(x_7)=f(8)&=64+72+12=148,\\\ f(x_8)=f(9)&=81+81+12=174,\\\ f(x_9)=f(10)&=100+90+12=202. \end{aligned}

Passo 4

Separar as somas conforme a fórmula (identificar índices múltiplos de 3 e os outros).
  • Índices múltiplos de 3 entre 1 e n-1=8 são i=3,6. Então
\sum_{\substack{i=3,6}} f(x_i)=f(x_3)+f(x_6)=64+124=188.
  • Índices interiores que não são múltiplos de 3 são i=1,2,4,5,7,8. Então
\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{8} f(x_i)=f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+f(x_5)+f(x_7)+f(x_8) =34+48+82+102+148+174=588.
  • Valores nos extremos:
f(x_0)+f(x_9)=22+202=224.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra composta de Simpson 3/8 com h=1.
\begin{aligned} \int_{1}^{10} f(x)\,dx &\approx \frac{3h}{8}\Big[f(x_0)+f(x_9)+3\cdot(588)+2\cdot(188)\Big],\qquad h=1\\[4pt] &= \frac{3}{8}\Big[224 + 3\cdot588 + 2\cdot188\Big]. \end{aligned}
Calcular os termos internos:
3\cdot588=1764,\qquad 2\cdot188=376.
Somando dentro dos colchetes:
224+1764+376=2364.
Multiplicando pelo fator \dfrac{3}{8}:
\frac{3}{8}\cdot 2364 = \frac{7092}{8} = 886{,}5.
Portanto a aproximação pela regra pedida é \;886{,}5.]

Passo 6

Calcular a integral exata analiticamente (antiderivada).
  • Uma antiderivada de f(x)=x^{2}+9x+12 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{9}{2}x^{2}+12x,
pois \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}, \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{9}{2}x^{2}\right)=9x e \dfrac{d}{dx}(12x)=12.
  • Avaliando em 10 e em 1:
F(10)=\frac{1000}{3}+\frac{9}{2}\cdot100+12\cdot10=\frac{1000}{3}+450+120=\frac{2710}{3},
F(1)=\frac{1}{3}+\frac{9}{2}\cdot1+12=\frac{1}{3}+\frac{9}{2}+12=\frac{101}{6}.
  • Subtraindo para obter a integral:
\int_{1}^{10} f(x)\,dx = F(10)-F(1)=\frac{2710}{3}-\frac{101}{6}=\frac{5420-101}{6}=\frac{5319}{6}=\frac{1773}{2}=886{,}5.
Logo o valor exato também é \;886{,}5.

Passo 7

Calcular o erro e comentar.
  • Erro = valor exato - valor aproximado =886{,}5-886{,}5=0.
  • Comentário didático: a regra de Simpson 3/8 é exata para polinômios de grau até 3 (ou seja, integra cubos e polinômios de grau menor sem erro). Aqui o integrando é um polinômio de grau 2, por isso a aproximação coincide exatamente com o valor exato e o erro é zero. Fica a dica para a prova: quando a função é polinomial de grau baixo, métodos de quadratura como Simpson podem dar resultado exato — vale checar o grau.

Resposta

I_{\text{aprox}}=886{,}5
I_{\text{exato}}=886{,}5
\text{Erro}=0

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